Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/a3908-1212-5385-q
Черновские аппроксимации решения линейного ОДУ с переменными коэффициентами
Ремизов И. Д.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 4.С.124-135.
Аннотация: Метод черновских аппроксимаций является мощным и гибким инструментом функционального анализа, позволяющим во многих случаях выразить \(\exp(tL)\) через переменные коэффициенты линейного дифференциального оператора \(L\). В данной работе доказывается теорема, позволяющая применять этот метод для нахождения резольвенты оператора \(L\). Наша теорема утверждает, что преобразования Лапласа аппроксимаций Чернова \(C_0\)-полугруппы сходятся к резольвенте генератора этой полугруппы. Мы демонстрируем предложенный метод на дифференциальном операторе второго порядка с переменными коэффициентами. В качестве следствия мы получаем новое представление решения неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в терминах функций, являющихся коэффициентами этого уравнения, играющих роль параметров задачи. Для функции Чернова на основе оператора сдвига мы даем оценку скорости сходимости приближений к решению.
Ключевые слова: полугруппы операторов, резольвента оператора, линейное ОДУ с переменными коэффициентами, представление решения, черновские аппроксимации
Образец цитирования: Remizov I. D. Chernoff Approximations of the Solution of Linear ODE with Variable Coefficients // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 4. C. 124-135 (in English). DOI 10.46698/a3908-1212-5385-q
1. Arendt, W. Chapter 1 Semigroups and Evolution Equations: Functional Calculus, Regularity and Kernel Estimates, Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, vol. 1, 2002, pp. 1-85. DOI: 10.1016/S1874-5717(04)80003-3.
2. Arendt, W., Batty, C. J. K., Hieber, M. and Neubrander, F. Cauchy Problems. Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems. Monographs in Mathematics, vol. 96, Birkhauser, Basel, 2001. DOI: 10.1007/978-3-0348-0087-7.
3. Engel, K.-J. and Nagel, R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics, vol. 194, Springer-Verlag, 2000. DOI: 10.1007/b97696.
4. Goldstein, J. A. Semigroups of Linear Operators and Applications: Second Edition, New York, Dover Publications, 2017.
5. Bogachev, V. I. and Smolyanov, O. G. Real and Functional Analysis, Springer, 2020.
DOI: 10.1007/978-3-030-38219-3.
6. Chernoff, P. R. Note on Product Formulas for Operator Semigroups, Journal of Functional Analysis, 1968, vol. 2, no. 2, pp. 238-242. DOI: 10.1016/0022-1236(68)90020-7.
7. Butko, Ya. A. The Method of Chernoff Approximation, Semigroups of Operators - Theory and Applications, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, vol. 325, Springer, Cham, 2020, pp. 19-46. DOI: 10.1007/978-3-030-46079-2_2.
8. Remizov, I. D. Feynman and Quasi-Feynman Formulas for Evolution Equations, Doklady Mathematics, 2017, vol. 96, no. 2, pp. 433-437. DOI: 10.1134/S1064562417050052.
9. Remizov, I. D. Formulas that Represent Cauchy Problem Solution for Momentum and Position Schrodinger Equation, Potential Analysis, 2020, vol. 52, no. 2, pp. 339-370. DOI: 10.1007/s11118-018-9735-1.
10. Remizov, I. D. New Method for Constructing Chernoff Functions, Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 4, pp. 566-570. DOI: 10.1134/S0012266117040152.
11. Remizov, I. D. Quasi-Feynman Formulas - a Method of Obtaining the Evolution Operator for the Schrodinger Equation, Journal of Functional Analysis, 2016, vol. 270, no. 12, pp. 4540-4557. DOI: 10.1016/j.jfa.2015.11.017.
12. Remizov, I. D. Approximations to the Solution of Cauchy Problem for a Linear Evolution Equation Via the Space Shift Operator (Second-Order Equation Example), Applied Mathematics and Computation, 2018, vol. 328, pp. 243-246. DOI: 10.1016/j.amc.2018.01.057.
13. Remizov, I. D. Solution-Giving Formula to Cauchy Problem for Multidimensional Parabolic Equation with Variable Coefficients, Journal of Mathematical Physics, 2019, vol. 60, no. 7, article no. 071505. DOI: 10.1063/1.5038102.
14. Orlov, Yu. N. and Sakbaev, V. Zh. and Smolyanov, O. G. Feynman Formulas and the Law of Large Numbers for Random One-Parameter Semigroups, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2019, vol. 306, no. 1, pp. 196-211. DOI: 10.1134/S0081543819050171.
15. Sakbaev, V. Zh. and Tsoy, N. V. Analogue of Chernoff Theorem for Cylindrical Pseudomeasures, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, vol. 41, no. 12, pp. 2369-2382. DOI: 10.1134/S1995080220120306.
16. Kalmetiev, R. Sh., Orlov, Yu. N. and Sakbaev, V. Zh. Averaging of Random Affine Transformations of Functions Domain, Ufa Mathematical Journal, 2023, vol. 15, no. 2, pp. 55-64. DOI: 10.13108/2023-15-2-55.
17. Dragunova, K. A., Nikbakht, N. and Remizov, I. D. Numerical Study of the Rate of Convergence of Chernoff Approximations to Solutions of the Heat Equation, Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, 2023, vol. 25, no. 4, pp. 255-272. DOI: 10.15507/2079-6900.25.202304.255-272.
18. Galkin, O. E. and Remizov, I. D. Upper and Lower Estimates for Rate of Convergence in the Chernoff Product Formula for Semigroups of Operators, Israel Journal of Mathematics, 2025, vol. 265, pp. 929–943. DOI: 10.1007/s11856-024-2678-x.
19. Galkin, O. E. and Remizov, I. D. Rate of Convergence of Chernoff Approximations of Operator \(C_0\)-semigroups, Mathematical Notes, 2022, vol. 111, no. 2, pp. 305-307. DOI: 10.1134/S0001434622010345.
20. Gomilko, A., Kosowicz, S. and Tomilov, Yu. A General Approach to Approximation Theory of Operator Semigroups, Journal de Math\'ematiques Pures et Appliquees, 2019, vol. 127, pp. 216-267. DOI: 10.1016/j.matpur.2018.08.008.
21. Vedenin, A. V., Voevodkin, V. S., Galkin, V. D., Karatetskaya, E. Yu. and Remizov, I. D. Speed of Convergence of Chernoff Approximations to Solutions of Evolution Equations, Mathematical Notes, 2020, vol. 108, no. 3-4, pp. 451-456. DOI: 10.1134/S0001434620090151.
22. Zagrebnov, V. A. Notes on the Chernoff Product Formula, Functional Analysis, 2020, vol. 279, no. 7, arXiv:1911.09480 [math.FA]. DOI: 10.48550/arXiv.1911.09480.
23. Zagrebnov, V. A. Comments on the Chernoff Estimate, Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2022, vol. 13, no. 1, pp. 17-23. DOI: 10.17586/2220-8054-2022-13-1-17-23.
24. Kalmetev, R. Sh. Approximate Solution of Multidimensional Kolmogorov Equation Using Feynman-Chernoff iterations, Preprints of the Keldysh Institute of Applied Mathematics, 2023, 021, 15 p.
DOI: 10.20948/prepr-2023-21.
25. Kalmetev, R. Sh., Orlov, Yu. N. and Sakbaev, V. Zh. Chernoff Iterations as an Averaging Method for Random Affine Transformations, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2022, vol. 62, no. 6, pp. 996-1006. DOI: 10.1134/S0965542522060100.
26. Feynman, R. P. Space-Time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics, Physical Review, 1948, vol. 20, pp. 367-387. DOI: 10.1103/RevModPhys.20.367.
27. Feynman, R. P. An Operation Calculus Having Applications in Quantum Electrodynamics, Physical Review, 1951, vol. 84, pp. 108-128. DOI: 10.1103/PhysRev.84.108.
28. Mazzucchi, S. Mathematical Feynman Path Integrals and Their Applications, World Scientific, 2009. DOI: 10.1142/7104.
29. Johnson, G. W. and Lapidus, M. L. The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Oxford, Clarendon Press, 2000.
30. Neklyudov, A. Yu. Inversion of Chernoff's Theorem, Mathematical Notes, 2008, vol. 83, no. 4, pp. 530-538. DOI: 10.1134/S0001434608030267.
31. Butko, Ya. A. Grothaus, M. and Smolyanov, O. G. Lagrangian Feynman Formulas for Second-Order Parabolic Equations in Bounded and Unbounded Domains, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2010, vol. 13, no. 3, pp. 377-392. DOI: 10.1142/S0219025710004097.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
