Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/m2064-2286-7424-l
Теоремы типа Кейси и преобразования Лагерра
Костин А. В.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 4.С.72-85.
Аннотация: В статье исследуются связи между теоремами Кейси и их обобщениями на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Наряду с теоремами типа Кейси об окружностях и "касательных расстояниях" между ними рассматриваются преобразования Лагерра, сохраняющие такие расстояния. С использованием неевклидовой геометрии описываются некоторые связи между этими преобразованиями. В теореме Кейси, являющейся одним из обобщений теоремы Птолемея о вписанном четырехугольнике, рассматриваются четыре окружности, касающиеся одной окружности на евклидовой плоскости. Вместо длин сторон и диагоналей берутся длины общих касательных соответствующих пар окружностей. Эта теорема легко обобщается на большее количество окружностей. Кроме того, у нее существуют различные аналоги в пространствах постоянной кривизны. На псевдоевклидовой плоскости также можно рассматривать аналоги теоремы Кейси и ее обобщений. Теоремы такого типа на псевдоевклидовой плоскости являются непосредственным следствием соответствующих евклидовых теорем. В работе строится соответствие между конфигурациями окружностей на евклидовой плоскости и конфигурациями окружностей мнимого радиуса на псевдоевклидовой плоскости. При этом соотношению из евклидовой геометрии соответствует то же самое соотношение в псевдоевклидовой геометрии. Преобразования Лагерра на евклидовой плоскости воздействуют на ориентированные прямые. При этом семейство прямых, огибающее окружность, под воздействием преобразований Лагерра переходит в аналогичное семейство. Если прямая принадлежит двум таким семействам, то при преобразованиях Лагерра сохраняется длина отрезка прямой между точками касания с окружностями. С использованием изотропной проекции преобразования Лагерра на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях можно рассматривать как преобразования, индуцированные движениями трехмерного псевдоевклидова пространства. Для описания свойств однопараметрических подгрупп группы Лагерра на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях используются геометрии Лобачевского и де Ситтера.
Ключевые слова: теорема Птолемея, теорема Кейси, теорема Фурмана, преобразования Лагерра, пространство постоянной кривизны
Образец цитирования: Костин А. В. Теоремы типа Кейси и преобразования Лагерра // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 4. С.72-85. DOI 10.46698/m2064-2286-7424-l
1. Kubota T. On the extended Ptolemy's theorem in hyperbolic geometry // Science Reports of the Tohoku University. Ser. 1: Physics, Chemistry, Astronomy. 1912. Vol. 2. P. 131-156.
2. Широков П. А. Этюды по геометрии Лобачевского // Изв. Физ-мат. общества при КГУ. Сер. 2. 1924. Т. 24, № 1. С. 26-32.
3. Ungar A. A. Ptolemy's theorem in the relativistic model of analitic hyperbolic geometry // Symmetry. 2023. Vol. 15, № 3. Article no. 649. DOI: 10.3390/sym15030649.
4. Haantjes J. A characteristic local property of Geodesies in certain metric spaces // Proc. Akad.
Wetensch. Amsterdam, 1947. Vol. 50. P. 496-508.
5. Gomez M., Memoli F. The four point condition: An elementary tropicalization of Ptolemy’s inequality // Amer. Math. Monthly. 2024. Vol. 131, № 3. P. 187-203. DOI: 10.1080/00029890.2023.2285695.
6. Casey J. A Seqyel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry, with Numerous Examples / Classic Reprint. London: Forgotten Books, 2012.
7. Maehara H., Martini H. Casey’s theorem // Circles, Spheres and Spherical Geometry. Cham: Birkhauser, 2024. P. 261-277. (Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbucher). DOI: 10.1007/978-3-031-62776-7_13.
8. Abrosimov N. V., Aseev V. V. Generalizations of Casey’s theorem for higher dimensions // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39. P. 1-12. DOI: 10.1134/S199508021801002X.
9. Abrosimov N. V., Mikaiylova L. A. Casey's theorem in hyperbolic geometry // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 354-360. DOI: 10.17377/semi.2015.12.029.
10. Костин А. В. Об обобщениях теоремы Птолемея на плоскости Лобачевского // Сиб. электрон. мат. изв. 2022. Т. 19, № 2. С. 404-414. DOI: 10.33048/semi.2022.19.035.
11. Костин А. В. Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 4. С. 58-67. DOI: 10.46698/d0031-4733-6473-n.
12. Костин А. В., Костина Н. Н. Интерпретации теоремы Кези и ее гиперболического аналога // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 242-251. DOI: 10.17377/semi.2016.13.017.
13. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Ленанд, 2021, 552 с.
14. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Ленанд, 2021, 672 с.
15. Maehara H., Martini H. Bipartite sets of spheres and Casey-type theorems // Results Math. 2018. Vol. 74. Art. 47. DOI: 10.1007/s00025-019-0973-3.
16. Bobenko A. I., Lutz C. O. R., Pottmann H., Techter J. Non-Euclidean Laguerre Geometry and Incircular Nets. Cham: Springer, 2021. DOI: 10.1007/978-3-030-81847-0_1.
17. Широков А. П. О группе Лагерра и ее аналогах в релятивной линейчатой геометрии плоскости // Движения в обобщенных пространствах. Рязань: Рязанский гос. пед. ин-т, 1985. С. 25-30.
18. Шустова К. П. Преобразования Лагерра в псевдоевклидовом пространстве и геометрия Лобачевского: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 1994.
19. Костин А. В. Асимптотические на псевдосферах и угол параллельности // Изв. вузов. Матем. 2021. Т. 65, № 6. С. 25-34. DOI: 10.26907/0021-3446-2021-6-25-34.
20. Костин А. В. Задача о тени и поверхности постоянной кривизны // Сиб. электрон. мат. изв. 2023. Т. 20, № 1. С. 150-164. DOI: 10.33048/semi.2023.20.014.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
