О применениях конечных полей к функции Эйлера

		ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807

			Войти

Главная Редколлегия Публикационная этика Рецензирование Свежий номер Архив Правила для авторов Работа с электронной редакцией Подать статью Контакты Адрес: Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Тел.: (8672)23-00-54 E-mail: rio@smath.ru	DOI: 10.46698/m2155-1449-8044-d О применениях конечных полей к функции Эйлера Пачев У. М. , Токбаева А. А. Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 3.С.120-126. Аннотация: Работа относится к применениям конечных полей к функции Эйлера из теории чисел. С помощью понятия нормированного неприводимого многочлена заданной степени над конечным полем \(F_{q}\) получен некоторый аналог известного соотношения Гаусса \(\sum\nolimits_{d\|n}\varphi(d)=n\). Здесь \(\varphi(k)\) - арифметическая функция Эйлера, значение которой равно количеству чисел ряда \(1,2,\ldots,k\), взаимно простых с числом \(k\). Для формулировки и доказательства аналога этого соотношения используется ряд понятий и предварительных результатов из теории многочленов над конечным полем \(F_{q}\) из \(q\) элементов. Именно к ним относятся понятия нормированного неприводимого многочлена от одной переменной над полем \(F_{q}\) и \(n\)-кругового многочлена \(Q_{n}(x)\) над любым полем ненулевой характеристики. Кроме того, существенно используется также понятие порядка многочлена \(f(x) \in F_{q}[x]\), согласно которому наименьшее натуральное число \(e\), для которого многочлен \(f(x)\) делит \(x^{e}-1\) в кольце \(F_{q}[x]\) есть порядок многочлена \(f(x)\). При этом на явной формуле \(n\)-кругового многочлена \(Q_{n}(x)\), а также на вспомогательном результате для числа нормированных неприводимых многочленов \(f(x) \in F_{q}[ x]\) степени \(m\) и заданного порядка \(e\) основаны доказательства основных новых результатов. Основными из них являются формула для числа \(N_{q}(n)\) нормированных неприводимых многочленов степени \(n\), а также аналог соотношения Гаусса для функции Эйлера. Ключевые слова: конечное поле, нормированный неприводимый многочлен, порядок многочлена, \(n\)-круговой многочлен, функция Эйлера Язык статьи: Русский Загрузить полный текст Образец цитирования: Пачев У. М., Токбаева А. А. О применениях конечных полей к функции Эйлера // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 3. С. 120-126. DOI 10.46698/m2155-1449-8044-d + Список литературы 1. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 987 с. 2. Галуа Э. Из теории чисел. Сочинения. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 342 с. 3. Пачев У. М. Избранные главы теории чисел. Нальчик: Изд-во М. и В. Котляровых, 2016. 186 с. 4. Минеев М. П., Чубариков В. Н. Лекции по арифметическим вопросам криптографии. М.: Изд-во "Луч", 2014. 224 с. 5. Степанов С. А. Сравнения. М.: Изд-во "Знание", 1975. 6. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1. М.: "Мир", 1988. 486 с. 7. Ленской Д. Н. К арифметике многочленов над конечным полем // Волжский матем. сб. Тр. матем. кафедр пед. ин-тов Поволжья. 1966. Вып. 4. C. 155-159. 8. Fredman M. L. Congruence formulas obtained by counting irreducible // Pacific J. Math. 1970. Vol. 35, № 3. P. 613-624. DOI: 10.2140/pjm.1970.35.613. 9. Степанов С. А. О числе неприводимых в \(F_{q[x]}\) многочленов специального вида // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, вып. 4(244). С. 199-200. 10. Carlitz L. The arithmetic of polynomials in a Galois field // Proc. Nat. Acad. Sci. 1931. Vol. 17, № 2. P. 120-122. DOI: 10.1073/pnas.17.2.120. 11. Willams K. S. Polynomials with irreducible factors of specified degree // Canada. Math. Bull. 1969. Vol. 12, № 2. P. 221-223. DOI: 10.4153/CMB-1969-026-2. 12. Пачев У. М., Кодзоков А. Х., Машезова А. М. Об оценках числа нормированных неприводимых многочленов заданной степени над конечным полем // Алгебра и динамические системы. Тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 110-летию со дня рождения С. Н. Черникова. Нальчик, 2022. С. 100-101. 13. Carlitz L. Some theorems on irreducible polynomials over a finite field // J. Reine Angen. Math. 1967. Vol. 227. P. 212-220. 14. Levine J., Brawley J. V. Involutory commutants with some applications to algebraic cryptographic // J. Reine Angew. Math. 1966. Vol. 224. P. 20-43. 15. Levine J., Brawley J. V. Some cryptographic applications of permutation polynomials // Cryptologia. 1977. Vol. 1. P. 76-92. DOI: 10.1080/0161-117791832814. ← Содержание выпуска


	\| Главная \| Редколлегия \| Публикационная этика \| Рецензирование \| Свежий номер \| Архив \| Правила для авторов \| Работа с электронной редакцией \| Подать статью \| Политика конфиденциальности \|
	© 1999-2026 Южный математический институт