Дорохин Д. К.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 3.С.50-59.
Аннотация: В данной статье мы исследуем свойства квазиконформных отображений на группе Гейзенберга \(\Bbb H^1\) и рассматриваем определение квазиконформных отображений через уравнение Бельтрами. В частности, получено явное выражение коэффициента Бельтрами для композиции двух квазиконформных отображений и доказан аналог факторизационной теоремы Cтоилова на плоскости. А именно, если коэффициенты Бельтрами двух квазиконформных отображений почти всюду равны, то существует конформное отображение такое, что подействовав им слева на какой-то из данных квазиконформных отображений, мы получим другое заданное отображение. В качестве применения полученных результатов на группе Гейзенберга \(\Bbb H^1\) вычислены коэффициенты Бельтрами некоторых квазиконформных отображений, и доказана теорема об образах квазиброуновских движений. В конкретных примерах мы демонстрируем инвариантность коэффициента Бельтрами под действием на соответствующее отображение слева композицией конформной функции. С помощью доказанной факторизации Стоилова на группе Гейзенберга, мы показали, что если у двух квазиброуновских движений их соответствующие коэффициенты Бельтрами равны почти всюду, то их траектории эквивалентны только в случае, если конформное отображение в факторизации Стоилова есть отображение, полученное из композиции сдвигов, поворотов и растяжений.
Ключевые слова: группа Гейзенберга, факторизация Стоилова, квазиконформные отображения, система Бельтрами, броуновское движение
Образец цитирования: Dorokhin D. K. Stoilow Factorization of the Heisenberg Group // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 3. C.50-59 (in English). DOI 10.46698/o8833-7719-4418-f
1. Astala, K., Iwaniec, T. and Martin, G. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal
Mappings in the Plane, Princeton, Princeton University Press, 2009, 696 p.
DOI: 10.1515/ 9781400830114.
2. Stoilow, S. Lecons Sur les Principes Topologiques de la Theorie des Fonctions
Analytiques Professees a la Sorbonne et a l'Universite de Cernauti,
Paris, Gauthier-Villars, 1938.
3. Reshetnyak, Y. G. Space Mappings with Bounded Distortion,
Siberian Mathematical Journal, 1967, vol. 8, pp. 466-487.
DOI: 10.1007/BF02196429.
4. Mostow, G. D. Strong Rigidity of Locally Symmetric Spaces,
Princeton University Press, 1973, 204 p.
5. Mostow, G. D. Quasi-Conformal Mappings in $n$-Spaces and the Rigidity of Hyperbolic
Space Forms, Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Scientifiques,
1968, vol. 34, pp. 53-104. DOI: 10.1007/BF02684590.
6. Gromov, M. Groups of Polynomial Growth and Expanding Maps,
Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Scientifiques,
1981, vol. 53, pp. 53-78. DOI: 10.1007/BF02698687.
7. Gromov, M. Structures Metriques Pour les Varietes Riemanniennes,
United States, Boston, Birkhauser, 1999, 585 p.
8. Mitchell, J. On Carnot-Caratheodory Metrics, Journal of Differential Geometry, 1981,
vol. 21, no. 1, pp. 35-45. DOI: 10.4310/jdg/1214439462.
9. Gromov, M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen from Within,
Sub-Riemannian Geometry, Progress in Mathematics, vol. 144,
Basel, Birkhauser, 1981, pp. 79-323.DOI: 10.1007/978-3-0348-9210-0_2.
10. Pansu, P. Metriques de Carnot-Caratheodory et Quasiisometries des Espaces
Symetriques de Rang un, Annals of Mathematics,
1989, vol. 129, pp. 1-60. DOI: 10.2307/1971484.
11. Koranyi, A. and Reimann, H. M. Foundations for the Theory of Quasiconformal Mappings
on the Heisenberg Group, Advances in Mathematics, 1995, vol. 111, pp. 1-87. DOI: 10.1006/aima.1995.1017.
12. Vodopyanov, S. K. Monotone Functions and Quasiconformal Mappings on Carnot
Groups, Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, no. 6,
pp. 1113-1136. DOI: 10.1007/BF02106736.
13. Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. On Extension of Functions of Bounded Mean
Oscillation from Domains in a Space of Homogeneous Type with Intrinsic Metric,
Siberian Mathematical Journal, 1995, vol. 36, no. 5, pp. 873-901. DOI: 10.1007/BF02112531.
14. Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. Analytical Properties of Quasiconformal
Mappings on Carnot Groups, Siberian Mathematical Journal,
1995, vol. 36, no. 6, pp. 1142-1151. DOI: 10.1007/BF02106836.
15. Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. Continuation of Differentiable Functions and Quasiconformal Mappings on Carnot Groups, Doklady Akademii Nauk, 1996, vol. 348, no. 1, pp. 15-18.
16. Vodopyanov, S. K and Ukhlov, A. D. Approximately Differentiable Transformations and
Replacement Variables on Nilpotent Groups, Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, no. 1, pp. 70-89.
DOI: 10.1007/BF02104760.
17. Koranyi, A. and Reimann, H. M. Quasiconformal Mappings on the Heisenberg Group,
Inventiones Mathematicae, 1985, vol. 80, pp. 309-338.
18. Wu, Q. Ya and Wang, W. The Beltrami Equations for Quasiconformal Mappings on Strictly
Pseudoconvex Hyperplanes, Siberian Mathematical Journal, 2012,
vol. 53, no. 2, pp. 316-334. DOI: 10.1134/ S0037446612020140.
19. Isangulova, D. V. The Class of Mappings with Bounded Specific Oscillation,
and Integrability of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups,
Siberian Mathematical Journal, 2007, vol. 48, no. 2, pp. 249-267.
DOI: 10.1007/s11202-007-0025-1.
20. Bonfiglioli, A., Lanconelli, E. and Uguzzoni, F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacian,
Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2007.
21. Vodopyanov, S. K. Closure of Classes of Mappings with Bounded Distortion on
Carnot Groups, Siberian Advances in Mathematics, 2004, vol. 14, no. 1, pp. 84-125.
22. Platis, I. D. Quasiconformal Mappings on the Heisenberg Group: An Overview,
Handbook of Teichmuller Theory, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics,
2016, vol. 6, pp. 375-393. DOI: 10.4171/161-1/12.
23. Bernard, A., Campbell, E. A. and Davie, A. M. Brownian Motions and Generalized Analytic and Inner Functions,
Annales de l'Institut Fourier, 1979, vol. 29, no. 1, pp. 207-228.
24. Oksendal, B. Dirichlet Forms, Quasiregular Functions and Brownian Motion,
Inventiones Mathematicae, 1988, vol. 91, pp. 273-297.
25. Evseev, N. A. Brownian Path Preserving Mappings on the Heisenberg Group,
Journal of Mathematical Analysis and Applications,
2025, vol. 548, no. 2, 129388. DOI: 10.1016/j.jmaa.2025.129388.
26. Zijian, Le. Brownian Motion, Quasiconformal Mappings and the Beltrami
Equation, A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Doctor of Philosophy, University of Washington, 2021.
27. Calin, O. Transience of Diffusions on Heisenberg and Grushin Distributions,
Journal of Geometry and Physics, 2014, vol. 77, pp. 131-142. DOI: 10.1016/j.geomphys.2013.12.010.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
