О некоторых интерполяционных неравенствах, полученных О. А. Ладыженской, и нелинейных уравнениях в частных производных

		ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807

			Войти

Главная Редколлегия Публикационная этика Рецензирование Свежий номер Архив Правила для авторов Работа с электронной редакцией Подать статью Контакты Адрес: Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Тел.: (8672)23-00-54 E-mail: rio@smath.ru	Уважаемые авторы, просим обратить внимание! Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции. DOI: 10.46698/e0942-9744-3775-a О некоторых интерполяционных неравенствах, полученных О. А. Ладыженской, и нелинейных уравнениях в частных производных Дегтярёв С. П. Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 3.С.40-49. Аннотация: В статье рассмотрены некоторые мультипликативные интерполяционные неравенства между пространствами Гельдера и Лебега. Мультипликативные интерполяционные неравенства типа Гальярдо - Ниренберга широко используются в исследованиях по дифференциальным уравнениям вчастных производных. Ранее были доказаны и применены несколько типов таких неравенств, включающих норму (полунорму) Гельдера. Настоящая статья обобщает имеющиеся результаты на случай анизотропных "параболических" пространств, предлагая простое доказательство, основанное на идее О. А. Ладыженской. В работе приводится применение такого неравенства типа Гальярдо - Ниренберга с нормой Гельдера. Используя более слабую интегральную оценку, это неравенство позволяет легко получить априорную оценку решения квазилинейной параболической задачи в гладких классах Гельдера. На основании этой априорной оценки устанавливается существование решения этой задачи. Для доказательства мультипликативного неравенства типа Гальярдо - Ниренберга с нормой Гельдера используется эквивалентная нормировка пространств Гельдера высоких порядков в терминах поведения конечных разностей высокого порядка. Ключевой технический прием заключается в представлении значения функции \(u(x, t)\) в произвольной точке \((x, t)\) в терминах ее конечной разности высокого порядка вэтой точке, а также добавочной суммы значений функции в соседних точках. После этого производится интегрирование по соседним точкам по шарам \(B_{r}((x, t))\) малого радиуса \(r\) с центром в \((x, t)\). Оценивая конечную разность через полунорму Гельдера, мы приходим к аддитивному неравенству с параметром\(r\), которое включает полунорму Гельдера и интегральную норму. Наконец, оптимизируя полученное аддитивное неравенство по параметру \(r\), приходим непосредственно к мультипликативному неравенству, включающему нормы Гельдера и Лебега. Ключевые слова: интерполяционные неравенства, априорные оценки, нелинейные дифференциальные уравнения Язык статьи: Английский Загрузить полный текст Образец цитирования: Degtyarev S. P. On Some Interpolation Inequalities Due to Olga Ladyzhenskaya and Nonlinear Partial Differential Equations // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 3. C. 40-49 (in English). DOI 10.46698/e0942-9744-3775-a + Список литературы 1. Lunardi, A. Interpolation Theory, Lecture Notes (Scuola Normale Superiore), Pisa, Edizioni Della Normale, 2018, 200 p. DOI: 10.1007/978-88-7642-638-4. 2. Lunardi, A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 16, Basel, Birkhauser Verlag, 1995, 424 p. 3. Triebel, H. Theory of Function Spaces II, Reprint of the 1992 Edition, Birkhauser, Basel, Modern Birkhauser Classics, 2010, 370 p. DOI: 10.1007/978-3-0346-0419-2. 4. Kufner, A. and Wannebo, A. An Interpolation Inequality Involving Holder Norms, Georgian Mathematical Journal, 1995, vol. 2, no. 6, pp. 603-612. DOI: 10.1007/BF02262857. 5. Mengxia Dong. Gagliardo-Nirenberg Inequality with Holder Norms, arXiv: 2405.00941, 2024. URL: https://arxiv.org/abs/2405.00941. 6. Triebel, H. Gagliardo-Nirenberg Inequalities, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2014, vol. 284, pp. 263-279. DOI: 10.1134/S0081543814010192. 7. Kolyada, V. I. and Perez Lazaro, F. J. On Gagliardo-Nirenberg Type Inequalities, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2014, vol. 20, pp. 577-607. DOI: 10.1007/s00041-014-9320-y. 8. Soudsky, F., Molchanova, A. and Roskovec, T. Interpolation Between Holder and Lebesgue Spaces with Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 466, no. 1, pp. 160-168. DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.05.067. 9. Wei, W., Wang, Y. and Ye, Y. Gagliardo-Nirenberg Inequalities in Lorentz Type Spaces, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2023, vol. 29, article no. 35, DOI: 10.1007/s00041-023-10018-2. 10. Strzelecki, P. Gagliardo-Nirenberg Inequalities with a BMO Term, Bulletin of the London Mathematical Society, 2006, vol. 38, no. 2, pp. 294-300. DOI: 10.1112/S0024609306018169. 11. Ladyzhenskaya, O. A. A Theorem on Multiplicators in Nonhomogeneous Holder Spaces and Some of Its Applications, Journal of Mathematical Sciences, New York, 2003, vol. 115, no. 6, pp. 2792-2802. DOI: 10.1023/A:1023373920221. 12. Solonnikov, V. A. Estimates for Solutions of a Non-Stationary Linearized System of Navier-Stokes Equations, Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Part 1, Collection of Articles, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, Moscow-Leningrad, Nauka, 1964, vol. 70, pp. 213-317 (in Russian). 13. Golovkin, K. K. On Equivalent Normalizations of Fractional Spaces, Automatic Programming, Numerical Methods and Functional Analysis, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, Moscow-Leningrad, 1962, vol. 66, pp. 364-383 (in Russian). 14. Ladyzhenskaya, O. A., Solonnikov, V. A. and Uraltseva, N. N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 1968, vol. 23, 648 p. ← Содержание выпуска


	\| Главная \| Редколлегия \| Публикационная этика \| Рецензирование \| Свежий номер \| Архив \| Правила для авторов \| Работа с электронной редакцией \| Подать статью \| Политика конфиденциальности \|
	© 1999-2026 Южный математический институт