Аннотация: В работе изучается вопрос о существовании периодических решений-циклов в нелинейных дифференциальных уравнениях с малым параметром. Получены необходимые и достаточные условия существования периодических решений, которые существенно расширяют область применимости метода малого параметра Л. С. Понтрягина из теории динамических систем на плоскости. При этом не предполагается дифференцируемость всех входящих в систему функций, а также того, что система является гамильтоновой. Для доказательства существования периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений в работе применяются топологические методы нелинейного анализа. На основе предложенных методов сформулированы и установлены теоремы о необходимых и достаточных условиях существования периодических решений при условии непрерывности всех входящих в систему функций. С целью упрощения изучаемой системы в работе используется переход к полярной системе координат и жордановы преобразования. В заключительной части предложен метод разработки примеров для конкретного класса функций, а также приведен пример системы, для которой легко проверяются условия существования периодических решений при малых значениях \(\varepsilon\).
Образец цитирования: Grishanina G. E., Muhamadiev E. M., Nurov I. J., Sharifzoda Z. I. Analysis of the Existence of Periodic Solutions of the Systems of Nonlinear Differential Equations with a Small Parameter // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 3. C. 28-39. (in English). DOI 10.46698/r6381-0860-2384-e
1. Poincare, H. Selected Works, Moscow, Nauka, 1971, 771 p. (in Russian).
2. Lyapunov, A. M. Obshchie zadacha ob ustojchivosti dvizheniya [General Problem of the Stability
of Motion], Moscow, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1950, 472 p.
(in Russian).
3. Bogolyubov, N. N. Asimptoticheskie metody v teorii nelinejnyh kolebanij [Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations], Moscow, State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1974, 504 p. (in Russian).
4. Malkin, K. G. Metody Lyapunova i Puankare v teorii nelinejnyh kolebanij [Lyapunov and Poincare Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations], Moscow, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1949, 246 p. (in Russian).
5. Guckenheimer, J. and Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences, vol. 42, Springer, 1983, 462 p.
6. Tikhonov, A. N. On the Dependence of Solutions of Differential Equations on a Small Parameter,
Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya, 1948, vol. 22(64), no. 2, pp. 193-204
(in Russian).
7. Morozov, A. D. On Limit Cycles and Chaos in Pendulum-Type Equations,
Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1989, vol. 53, no. 5, pp. 721-730
(in Russian).
8. Sharifzoda, Z. I., Muhamadiev, E. M. and Nurov, I. J. Cyclic Solutions of the Pontryagin Equation
with a Small Parameter, Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory,
2021, vol. 194, pp. 167-171 (in Russian). DOI: 10.36535/0233-6723-2021-194-167-171.
9. Pontryagin, L. S. On Dynamical Systems Close to Hamiltonian, Journal of Experimental and Theoretical Physics,
1934, vol. 4, no. 8, pp. 234-236 (in Russian).
10. Yumagulov, M. G., Ibragimova, L. S. and Belova, A. S. Methods for Studying the Stability of Linear Periodic
Systems Depending on a Small Parameter, Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2019, vol. 163, pp. 113-126 (in Russian).
11. Muhamadiev, E. M., Nazimov, A. B. and Naimov, A. N. On the Solvability of One Class
of Nonlinear Equations with a Small Parameter in a Banach Space,
Ufa Mathematical Journal, 2020, vol. 12, no. 3, pp. 60-68. DOI: 10.13108/2020-12-3-60.
12. Bautin, N. N. and Leontovich, E. A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya
dinamicheskih sistem na ploskosti [Methods and Techniques for Qualitative Research
of Dynamic Systems on a Plane], Moscow, Nauka, 1976, 496 p. (in Russian).
13. Krasnoselsky, M. A. and Zabreiko, P. P. Geometricheskie metody nelinejnogo analiza
[Geometric Methods of Nonlinear Analysis], Moscow, Nauka, 1975, 512 p. (in Russian).
14. Krasnoselsky, M. A. Topologicheskie metody i teorii nelinejnyh integral'nyh uravnenij
[Topological Methods and Theories of Nonlinear Integral Equations],
Moscow, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature,
1956, 392 p. (in Russian).
15. Krasnoselsky, M. A. Vektornye polya v ploskosti [Vector Fields in a Plane],
Moscow, Fizmatgiz, 1963, 248 p. (in Russian).
16. Fillipov, A. F. Vvedenie v teoriyu differencial'nyh uravnenij [Introduction
to the Theory of Differential Equations], Moscow, LENAND, 2015, 240 p. (in Russian).
17. Leray, J. A. and Schauder, Y. Topology and Functional Equations, Russian Mathematical
Surveys, 1946, vol. 1, no. 3, pp. 71-79 (in Russian).
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
