Аннотация: Хорошо известно, что всякая функция \(f\in C(\mathbb{R}^n)\), \(n\geq2\), имеющая нулевые интегралы по всем шарам и сферам фиксированного радиуса \(r\), является тождественным нулем. В данной работе изучается подобное явление для шаровых и сферических средних относительно \(\alpha\)-свертки Бесселя. Пусть \(\alpha\in(-1/2,+\infty)\), \(L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) - класс четных локально суммируемых по мере \(d\mu_\alpha(x)=|x|^{2\alpha+1}dx\) функций на интервале \((-R,R)\), \(f\overset{\alpha}\star g\) - свертка Бесселя функции \(f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) и четного распределения \(g\) на \(\mathbb{R}\) с носителем на \((-R,R)\). Основной результат статьи дает решение задачи об инъективности оператора \( f\rightarrow(f\overset{\alpha}\star\chi_r, f\overset{\alpha}\star\delta_r), \quad f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R), \quad 0 < r < R\), где \(\chi_r\) - индикатор отрезка \([-r,r]\), \(\delta_r\) - четная мера, сопоставляющая четной непрерывной функции \(\varphi\) на \(\mathbb{R}\) число \(\varphi(r)\). На основе техники, связанной с классическими ортогональными многочленами и недавними исследованиями авторов, показано, что при \(R\geq2r\) ядро указанного оператора является нулевым, а при \(r
L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\), равных нулю на \((2r-R,R)\) и имеющих нулевой интеграл (относительно меры \(d\mu_\alpha\)) по промежутку \((0,2r-R)\). Этот результат позволил получить новый критерий замкнутости системы обобщенных сдвигов Бесселя индикаторов отрезков в пространстве \(L^p_{\natural,\alpha}(-R,R)\), \(1\leq p<\infty\), а также новую теорему единственности для решений задачи Коши обобщенного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу.
Образец цитирования: Krasnoschekikh G. V. and Volchkov Vit. V. The one Radius Theorem for the Bessel Convolution Operator and its Applications // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 2. C. 72-83 (in English). DOI 10.46698/e5897-8783-0193-o
1. Brown, L., Schreiber, B. M. and Taylor, B. A. Spectral Synthesis and the Pompeiu
problem, Annales de l'Institut Fourier, 1973, vol. 23, no. 3, pp. 125-154. DOI:
10.5802/aif.474.
2. Ramsey, T. and Weit, Y. Mean Values and Classes of Harmonic
Functions, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1984, vol. 96, no. 3, pp. 501-505. DOI: 10.1017/S0305004100062435.
3. Berenstein, C. A. and Struppa, D. C. Complex Analysis and Convolution Equations, Several Complex Variables, V. Encyclopedia of Mathematical Sciences, New York,
Springer-Verlag, 1993, vol. 54, pp. 1-108. DOI: 10.1007/978-3-642-58011-6-1.
4. Bagchi, S. C. and Sitaram, A. The Pompeiu Problem Revisited, L'Enseignement Mathematique, 1990, vol. 36, no. 1-2, pp. 67-91.
5. Zalcman, L. Supplementary Bibliography to "A Bibliographic Survey of the Pompeiu
Problem", Contemporary Mathematics. Radon Transform and Tomography, 2001, vol. 278, pp. 69-74.
DOI: 10.1090/conm/278/04595.
6. Volchkov, V. V. Integral Geometry and Convolution Equations,
Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 2003, 454 p. DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.
7. Rudin, W. Function Theory in the Unit Ball of \(\mathbb{C^n}\), Berlin,
Springer-Verlag, 1980, 449 p. DOI: 10.1007/978-3-540-68276-9.
8. Flatto, L. The Converse of Gauss Theorem for Harmonic Functions, Journal of Differential Equations, 1965, vol. 1, pp. 483-490.
9. Hansen, W. A Liouville Property for Spherical Averages in the Plane, Mathematische Annalen, 2001, vol. 319, pp. 539-551. DOI: 10.1007/PL00004448.
10. Smith, J. D. Harmonic Analysis of Scalar and Vector Fields in \(\mathbb R^n\),
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1972, vol. 72, no. 3, pp. 403-416. DOI: 10.1017/S0305004100047241.
11. Ungar, P. Freak Theorem about Functions on a Sphere, Journal
of the London Mathematical Society (2), 1954, vol. 29, pp. 100-103.
12. Zalcman, L. Offbeat Integral Geometry, The American Mathematical Monthly, 1980,
vol. 87, no. 3, pp. 161-175. DOI: 10.2307/2321600.
13. Berenstein, C. A. and Zalcman, L. Pompeiu's Problem on Symmetric Spaces, Commentarii Mathematici Helvetici, 1980, vol. 55, pp. 593-621. DOI: 10.1007/BF02566709.
14. Volchkov, V. V. Solution of the Support Problem for Several Function Classes, Sbornik: Mathematics, 1997, vol. 188, no. 9, pp. 1279-1294. DOI: 10.1070/sm1997v188n09ABEH000255.
15. Volchkov, V. V. and Volchkov, Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric
Spaces, Basel, Birkhauser, 2013, 592 p. DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.
16. Volchkov, Vit. V. and Krasnoschekikh, G. V. A Refinement of the
Two-Radius Theorem on the Bessel-Kingman Hypergroup, Mathematical Notes, 2024, vol. 116, no. 2,
pp. 223-237. DOI: 10.1134/S0001434624070174.
17. Selmi, B. and Nessibi, M. M. A Local Two Radii Theorem on the
Chebli-Trimeche Hypergroup, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, vol. 329, no. 1,
pp. 163-190. DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.06.061.
18. Trimeche, K. Generalized Wavelets and Hypergroups, New York,
CRC Press, 1997, 354 p.
19. Edwards, R. E. Fourier Series. A Modern Introduction, Vol. II, New York,
Springer-Verlag, 1982, 370 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-8156-3.
20. John, F. Plane Waves and Spherical Means: Applied to Partial
Differential Equations, New York, Interscience Publishers, 1955, 190 p.
DOI: 10.1007/978-1-4613-9453-2.
21. Courant, R. Partial Differential Equations, Berlin, Wiley-VCH Verlag
GmbH, 1962, 830 p.
22. Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G. Higher
Transcendental Functions (Bateman Manuscript Project), Vol. I, II, New York, McGraw-Hill, 1953,
302 p.
23. Suetin, P. K. Classical Orthogonal Polynomials, Moscow, Nauka, 1979,
416 p. (in Russian).
24. Sitnik, S. and Shishkina, E. L. The Method of Transformation Operators for Differential
Equations with the Bessel Operator, Moscow, Fizmatlit, 2019, 222 p. (in Russian).
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
