Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/f7980-3632-9547-r
Условия предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с вырождающейся коэрцитивностью и \(L^1\)-данными
Ковалевский A. A.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 2.С.35-51.
Аннотация: Изучаются энтропийные и слабые решения задачи Дирихле для одного класса нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с вырождающейся коэрцитивностью и правой частью \(f\) из \(L^{1}(\Omega)\), где \(\Omega\) - ограниченное открытое множество в \({\mathbb R}^n\) (\(n\geqslant 2\)). Условие роста на коэффициенты уравнений допускает любой их рост относительно самой неизвестной функции. Используя некоторую функцию \(\tilde{f}\colon[0,+\infty)\to{\mathbb R}\), порожденную функцией \(f\), получены оценки функции распределения энтропийного решения и его градиента. С помощью этих оценок установлены интегральные условия на функцию \(\tilde{f}\), гарантирующие принадлежность энтропийных решений и их градиентов предельным пространствам Лебега. Как следствие, получены условия принадлежности энтропийных решений предельному пространству Соболева \(W^{1,r}_{0}(\Omega)\) и, как частный случай, пространству \(W^{1,1}_{0}(\Omega)\). Кроме того, установлены условия существования слабых решений рассматриваемой задачи, принадлежащих пространству \(W^{1,r}_{0}(\Omega)\). Полученные результаты обобщают известные результаты для уравнений, коэффициенты которых удовлетворяют обычному условию коэрцитивности.
Образец цитирования: Kovalevsky, A. A. Conditions for the Limit Summability of Solutions
of Nonlinear Elliptic Equations with Degenerate Coercivity and \(L^1\)-Data // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 2. C. 35-51 (in English). DOI: 10.46698/f7980-3632-9547-r. DOI 10.46698/f7980-3632-9547-r
1. Boccardo, L. and Gallouet, T. Non-linear Elliptic and Parabolic Equations Involving Measure Data, Journal of Functional Analysis, 1989, vol. 87, no. 1, pp. 149-169. DOI: 10.1016/0022-1236(89)90005-0.
2. Boccardo, L. and Gallouet, T. Nonlinear Elliptic Equations with Right Hand Side Measures, Communications in Partial Differential Equations, 1992, vol. 17, no. 3-4, pp. 641-655.
DOI: 10.1080/03605309208820857.
3. Murat, F. Equations Elliptiques non Lineaires Avec Second Membre \(L^1\) ou Mesure, Actes du 26eme Congres National d'Analyse Numerique, Les Karellis, France, 1994, pp. A12-A24.
4. Benilan, Ph., Boccardo, L., Gallouet, T., Gariepy, R., Pierre, M. and Vazquez, J. L. An \(L^1\)-Theory of Existence and Uniqueness of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations, Annali Della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, Serie 4, 1995, vol. 22, no. 2, pp. 241-273.
5. Del Vecchio, T. Nonlinear Elliptic Equations with Measure Data, Potential Analysis, 1995,
vol. 4, no. 2, pp. 185-203. DOI: 10.1007/BF01275590.
6. Boccardo, L. and Gallouet, T. Summability of the Solutions of Nonlinear Elliptic Equations
with Right Hand Side Measures, Journal of Convex Analysis, 1996, vol. 3, no. 2, pp. 361-365.
7. Dal Maso, G., Murat, F., Orsina, L. and Prignet, A. Renormalized Solutions of Elliptic Equations with General Measure Data, Annali Della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, Serie 4, 1999, vol. 28, no. 4,
pp. 741-808.
8. Alvino, A., Ferone, V. and Trombetti, G. Nonlinear Elliptic Equations with Lower-Order Terms, Differential Integral Equations, 2001, vol. 14, no. 10, pp. 1169-1180.
DOI: 10.57262/die/1356123097.
9. Porretta, A. Nonlinear Equations with Natural Growth Terms and Measure Data, Electronic Journal of Differential Equations, 2002, Conf. 09, pp. 183-202.
10. Kovalevsky, A. A. General Conditions for Limit Summability of Solutions of Nonlinear Elliptic
Equations with \(L^{1}\)-Data, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2006, vol. 64,
no. 8, pp. 1885-1895. DOI: 10.1016/j.na.2005.08.008.
11. Cirmi, G. R. and Leonardi, S. Regularity Results for Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with \(L^{1,\lambda}\) Data, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2008, vol. 69, no. 1, pp. 230-244. DOI: 10.1016/j.na.2007.05.014.
12. Boccardo, L. and Gallouet, T. \(W^{1,1_0}\) Solutions in Some Borderline Cases of Calder\'on-Zygmund Theory, Journal of Differential Equations, 2012, vol. 253, no. 9, pp. 2698-2714.
DOI: 10.1016/j.jde.2012.07.003.
13. Kovalevsky, A. A. Summability of Solutions of Second-Order Nonlinear Elliptic Equations with Data
in Classes Close to \(L^1\), Ricerche di Matematica, 2024, vol. 73, no. 3, pp. 1223-1253.
DOI: 10.1007/s11587-021-00666-1.
14. Boccardo, L., Dall'Aglio, A. and Orsina, L. Existence and Regularity Results for Some Elliptic Equations with Degenerate Coercivity, Atti Del Seminario Matematico e Fisico dell'Universita Di Modena,1998, vol. 46, pp. 51-81.
15. Alvino, A., Boccardo, L., Ferone, V., Orsina, L. and Trombetti, G. Existence Results for Nonlinear Elliptic Equations with Degenerate Coercivity, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2003, vol. 182, no. 1, pp. 53-79. DOI: 10.1007/s10231-002-0056-y.
16. Boccardo, L. Some Elliptic Problems with Degenerate Coercivity, Advanced Nonlinear Studies, 2006, vol. 6, no. 1, pp. 1-12. DOI: 10.1515/ans-2006-0101.
17. Kovalevskii, A. A. On the Convergence of Functions from a Sobolev Space Satisfying
Special Integral Estimates, Ukrainian Mathematical Journal, 2006, vol. 58, no. 2, pp. 189-205.
DOI: 10.1007/s11253-006-0061-1.
18. Kovalevsky, A. A. A Priori Properties of Solutions of Nonlinear Equations with Degenerate Coercivity
and \(L^1\)-Data, Journal of Mathematical Sciences, 2008, vol. 149, no. 5, pp. 1517-1538.
DOI: 10.1007/s10958-008-0080-6.
19. Chen, G. Nonlinear Elliptic Equation with Lower Order Term and Degenerate Coercivity, Mathematical Notes, 2013, vol. 93, no. 2, pp. 224-237. DOI: 10.1134/S0001434613010240.
20. Boccardo, L. and Croce, G. \(W^{1,1_0}\) Solutions in Some Borderline Cases of Elliptic Equations with Degenerate Coercivity, de Figueiredo, D., do O, J., Tomei, C. (eds), Analysis and Topology in Nonlinear Differential Equations, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 85, Cham, Birkhauser, 2014, pp. 135-143. DOI: 10.1007/978-3-319-04214-5_7.
21. Boccardo, L. A Quasilinear Elliptic Equation with \(W^{1,1_{0}}\)-Solutions, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, 2015, vol. 8, no. 1, pp. 17-29.
DOI: 10.1007/s40574-015-0022-4.
22. Souilah, R. Existence and Regularity Results for Some Elliptic Equations
with Degenerate Coercivity and Singular Quadratic Lower-Order Terms, Mediterranean Journal of Mathematics, 2019, vol. 16, no. 4, Article no. 87, 21 p. DOI: 10.1007/s00009-019-1360-8.
23. Gao, H., Huang, M. and Ren, W. Regularity for Entropy Solutions to Degenerate Elliptic Equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2020, vol. 491, no. 1, Article ID 124251, 18 p.
DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124251.
24. Xiawu, J., Huang, S., Mi, Y. and Ri, M. Existence of \(W^{1,1_0(\Omega)}\) Solutions
to Non-Coercivity Quasilinear Elliptic Problem, Journal of Function Spaces,
2020, Article ID 5017818, 6 p. DOI: 10.1155/2020/5017818.
25. Zhang, J. and Gao, H. Gradient Estimates for Entropy Solutions to Elliptic Equations
with Degenerate Coercivity, Rocky Mountain Journal of Mathematics,
2023, vol. 53, no. 1, pp. 275-284. DOI: 10.1216/rmj.2023.53.275.
26. Grenon, N. \(L^{r}\) estimates for Degenerate Elliptic Problems, Potential Analysis, 2002, vol. 16, no. 4, pp. 387-392. DOI: 10.1023/A:1014895230754.
27. Benkirane, A., Meskine, D. and Youssfi, A. Bounded Solutions for Nonlinear Elliptic Equations with Degenerate Coercivity and Data in an \(L\log L\), Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin, 2008, vol. 15, no. 2, pp. 369-375. DOI: 10.36045/bbms/1210254830.
28. Zhang, X. and Fu, Y. Solutions for Nonlinear Elliptic Equations with Variable Growth and Degenerate Coercivity, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2014, vol. 193, no. 1, pp. 133-161.
DOI: 10.1007/s10231-012-0270-1.
29. Li, Z. and Gao, W. Existence Results to a Nonlinear \(p(x)\)-Laplace Equation with Degenerate
Coercivity and Zero-Order Term: Renormalized and Entropy Solutions, Applicable Analysis, 2015, vol. 95, no. 2, pp. 373-389. DOI: 10.1080/00036811.2015.1004321.
30. Ayadi, H. and Mokhtari, F. Nonlinear Anisotropic Elliptic Equations with Variable Exponents
and Degenerate Coercivity, Electronic Journal of Differential Equations,
2018, vol. 2018, paper no. 45, 23 p.
31. Dai, L. Existence of Renormalized Solutions for a Degenerate Elliptic Equation
with Degenerate Coercivity in Weighted Sobolev Spaces, Journal of Zhejiang University, Science Edition, 2018, vol. 45, no. 6, pp. 673-678 (in Chinese). DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2018.06.005.
32. Dai, L. Existence of Entropy Solutions for an Elliptic Equation with Degenerate Coercivity, Journal of East China Normal University, Natural Science Edition, 2019, no. 4, pp. 52-61 (in Chinese).
DOI: 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.006.
33. Gao, H., Leonetti, F. and Ren, W. Regularity for Anisotropic Elliptic Equations with Degenerate Coercivity, Nonlinear Analysis, 2019, vol. 187, pp. 493-505. DOI: 10.1016/j.na.2019.06.017.
34. Kovalevsky, A. A. and Gorban, Yu. S. Solvability of Degenerate Anisotropic Elliptic Second-Order Equations with \(L^{1}\)-Data, Electronic Journal of Differential Equations,
2013, vol. 2013, paper no. 167, 17 p.
35. Gilbarg, D. and Trudinger, N. S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd ed.,
Berlin, Springer, 1983, 513 p.
36. Kovalevsky, A. A., Skrypnik, I. I. and Shishkov, A. E. Singular Solutions of Nonlinear Elliptic and Parabolic Equations, Berlin, De Gruyter, 2016, 434 p. DOI: 10.1515/9783110332247.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
