Аннотация: В работе рассматривается однопараметрическое семейство \(f_\mu\) двумерных диффеоморфизмов такое, что при \(\mu=0\) диффеоморфизм \(f_0\) имеет трансверсальную гомоклиническую траекторию к негрубой неподвижной точке произвольного конечного порядка вырождения \(n\geq 1\), а при \(\mu>0\) неподвижная точка становится грубой седловой.
Цель работы - дать описание структуры множества \(N_\mu\) траекторий из достаточно малой фиксированной окрестности гомоклинической траектории. Основным результатом работы является полное описание множества \(N_\mu\) траекторий, целиком лежащих в окрестности гомоклинической структуры.
Показано, что при \(\mu\geq 0\) множество \(N_\mu\) является гиперболическим (при \(\mu=0\) - неравномерно гиперболическим), и ограничение \(f_\mu\) на \(N_\mu\), т. е. дискретная динамическая система \(f_\mu\bigl|_{N_\mu}\), топологически сопряжено с некоторой нетривиальной подсистемой топологической схемы Бернулли из двух символов. Тем самым мы обобщаем классический результат Лукьянова и Шильникова, полученный ими для случая, когда неподвижная точка является невырожденным
седло-узлом (\(n=1\)). Помимо этого в работе получены новые эффективные формулы для итераций одномерных отображений (отображений в ограничении на центральное многообразие диффеоморфизма \(f_\mu\)). Эти формулы выводятся с помощью некоторой модификации метода вложения отображения в поток и метод Шильникова перекрестных отображений.
Образец цитирования: Гордеева О. В., Гордеев В. Е. О структуре окрестности гомоклинической траектории к негрубой неподвижной точке // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 2. С. 19-34. DOI 10.46698/p1879-1111-4332-k
1. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Соврем. проблемы мат. Фундам. направления. 1986. T. 5. C. 5-218.
2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Тр. междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 31 августа - 6 сентября 1998 г.). Том 6. Динамические системы, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 1999. T. 67. C. 69-128.
3. Гонченко С. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2007. 525 c.
4. Афраймович В. С., Шильников Л. П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. C. 1281-1284.
5. Афраймович В. С., Шильников Л. П. Принцип кольца в задаче взаимодействия двух автоколебательных систем // Прикл. матем. и мех. 1977. T. 41, № 4. C. 618-627.
6. Афраймович В. С., Шильников Л. П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Межвуз. сб. "Методы КТДУ". Горький, 1983. C. 3-26.
7. Шильников A. Л., Шильников Л. П., Тураев Д. В., Чуа Л. O. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. 1998; Часть 2. 2001.
8. Лукьянов В. И., Шильников Л. П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1. С. 26-29.
9. Pomeau Y., Manneville P. Wavelength selection in cellula flows // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. 1980. Vol. 75, № 4. P. 296-298. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90568-x.
10. Лукьянов В. И. О существовании гладких инвариантных слоений в окрестности
некоторых негрубых неподвижных точек диффеоморфизма // Межвуз. сб. Горький. 1979. № 3. C. 60-66.
11. Newhouse S., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // Publ. Math. IHES. 1983. Vol. 57. P. 5-71.
12. Shilnikov L. P., Turaev D. A new simple bifurcation of a periodic orbit of "blue sky catastrophe" type // AMS Transl. Series II. Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics. Vol. 200. 2000.
13. Белых В. Н. О качественном исследовании неавтономного уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1975. T. 11, № 10. C. 1738-1753.
14. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой, I // Мат. сб. 1972. Т. 88, № 4. C. 475-492.
15. Шильников Л. П. Об одной задаче Пуанкаре Биркгофа // Мат. сб. 1967. Т. 116, № 3. С. 378-397.
16. Афраймович В. С., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла // Тр. Моск. мат. общества. 1973. Т. 28. С. 181-214.
17. Gonchenko S. V., Gordeeva O. V. On Two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic
orbits to nonhyperbolic fixed points // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2024. Vol. 20, № 1. P. 151-165.
DOI: 10.20537/nd231204.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
