Аннотация: В работе мы рассматриваем классические решения начально-краевой задачи для системы полулинейных параболических уравнений с поглощением и нелинейными нелокальными граничными условиями. Нелинейности в уравнениях и граничных условиях могут не удовлетворять условию Липшица. Для доказательства существования решения мы регуляризуем исходную задачу. Используя теорему Шаудера - Тихонова о неподвижной точке, доказывается существование локального решения регуляризованной задачи. Показано, что предел решений регуляризованной задачи является максимальным решением исходной задачи. Используя свойства максимального решения, доказывается принцип сравнения. При этом не делается дополнительных предположений, когда нелинейности в поглощении не удовлетворяют условию Липшица. Найдены условия, при выполнении которых решения являются положительными функциями. Устанавливается единственность решения. Показано, что нулевое решение может быть неединственным.
Ключевые слова: система полулинейных параболических уравнений, нелокальные граничные условия, существование решения, принцип сравнения
Образец цитирования: Bulyno D. A., Gladkov A. L. and Nikitin A. I. Initial Boundary Value Problem for a System of Semilinear Parabolic Equations with Absorption and Nonlinear Nonlocal Boundary Conditions // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, № 2. C.5-18 (in English). DOI 10.46698/o2548-3794-2309-a
1. Zheng, S. and Kong, L. Roles of Weight Functions in a Nonlinear Nonlocal Parabolic System, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2008, vol. 68, no. 8, pp. 2406-2416. DOI: 10.1016/j.na.2007.01.067.
2. Marras, M. and Vernier Piro, S. Explicit Estimates for Blow-Up Solutions to Parabolic Systems Under Nonlocal Boundary Conditions, Proceedings of the Bulgarian Academy of Sciences, 2014, vol. 67, no. 4, pp. 459-466.
3. Fang, Z. B. and Zhang, J. Global Existence and Blow-up Properties of Solutions for Porous Medium Equation with Nonlinear Memory and Weighted Nonlocal Boundary Condition, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, 2015, vol. 66, pp. 67-81. DOI: 10.1007/s00033-013-0382-5.
4. Gladkov, A. and Kavitova, T. Initial-Boundary-Value Problem for a Semilinear Parabolic Equation with Nonlinear Nonlocal Boundary Conditions, Ukrainian Mathematical Journal, 2016, vol. 68, no. 2, pp. 179-192. DOI: 10.1007/s11253-016-1217-2.
5. Gladkov, A. and Nikitin, A. On the Existence of Global Solutions of a System of Semilinear
Parabolic Equations with Nonlinear Nonlocal Boundary Conditions, Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 4, pp. 467-482. DOI: 10.1134/S0012266116040078.
6. Gladkov, A. and Kavitova, T. Blow-up Problem for Semilinear Heat Equation with Nonlinear
Nonlocal Boundary Condition, Applicable Analysis, 2016, vol. 95, no. 9, pp. 1974-1988. DOI: 10.1080/00036811.2015.1080353.
7. Gladkov, A. Blow-up Problem for Semilinear Heat Equation with Nonlinear Nonlocal Neumann Boundary Condition, Communications on Pure and Applied Analysis, 2017, vol. 16, no. 6, pp. 2053-2068. DOI: 10.3934/cpaa.2017101.
8. Kakumani, B. K. and Tumuluri, S. K. Asymptotic Behavior of the Solution of a Diffusion Equation with Nonlocal Boundary Conditions, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 2017, vol. 22, no. 2, pp. 407-419. DOI: 10.3934/dcdsb.2017019.
9. Gladkov, A. Initial Boundary Value Problem for a Semilinear Parabolic Equation with Absorption and Nonlinear Nonlocal Boundary Condition, Lithuanian Mathematical Journal, 2017, vol. 57, no. 4, pp. 468-478. DOI: 10.1007/s10986-017-9376-x.
10. Wang, J. and Yang, H. Properties of Solutions for a Reaction-Diffusion Equation with Nonlinear Absorption and Nonlinear Nonlocal Neumann Boundary Condition, Boundary Value Problems, 2018, article no. 143. DOI: 10.1186/s13661-018-1069-9.
11. Gladkov, A. and Nikitin, A. On Global Existence of Solutions of Initial Boundary Value Problem
for a System of Semilinear Parabolic Equations with Nonlinear Nonlocal Neumann Boundary Conditions, Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 1, pp. 86-105. DOI: 10.1134/S0012266118010081.
12. Liu, B., Lin, H., Li, F. and Wang, X. Blow-up Analyses in Reaction-Diffusion Equations with Nonlinear Nonlocal Boundary Flux, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, 2019, vol. 70, article no. 106. DOI: 10.1007/s00033-019-1155-6.
13. Liu, B., Wu, G., Sun, X. and Li, F. Blow-up Estimate in Reaction-Diffusion Equation with Nonlinear Nonlocal Flux and Source, Computers & Mathematics with Applications, 2019, vol. 78, no. 6, pp. 1862-1877. DOI: 10.1016/j.camwa.2019.03.026.
14. Gladkov, A. and Kavitova, T. On the Initial-Boundary Value Problem for a Nonlocal Parabolic Equation with Nonlocal Boundary Condition, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2020, vol. 43, no. 1, pp. 5464-5479. DOI: 10.1002/mma.6286.
15. Anderson, J. R. and Deng, K. Global Solvability for a Diffusion Model with Absorption and Memory-Driven Flux at the Boundary, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, 2020, vol. 71, article no. 50. DOI: 10.1007/s00033-020-1272-2.
16. Gladkov, A. and Guedda, M. Global Existence of Solutions of a Semilinear Heat Equation with Nonlinear Memory Condition, Applicable Analysis, 2020, vol. 99, no. 16, pp. 2823-2832. DOI: 10.1080/00036811.2019.1584291.
17. Kou, W. and Ding, J. Blow-up Phenomena for \(p\)-Laplacian Parabolic Equations Under Nonlocal Boundary Conditions, Applicable Analysis, 2021, vol. 100, no. 16, pp. 3350-3365. DOI: 10.1080/00036811.2020.1716972.
18. Lu, H., Hu, B. and Zhang, Z. Blowup Time Estimates for the Heat Equation with a Nonlocal Boundary Condition, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, 2022, vol. 73, article no. 60. DOI: 10.1007/s00033-022-01698-9.
19. Gladkov, A. Global Existence and Blow-up of Solutions of Nonlinear Nonlocal Parabolic Equation with Absorption Under Nonlinear Nonlocal Boundary Condition, Monatshefte fur Mathematik, 2024, vol. 203, no. 2, pp. 357-372. DOI: 10.1007/s00605-023-01892-5.
20. Huo, W. and Fang, Z. B. Blow-up Analysis for Heat Equation with a Nonlocal Weighted Exponential Boundary Flux, Mediterranean Journal of Mathematics, 2023, vol. 20, article no. 131. DOI: 10.1007/s00009-023-02354-w.
21. Huo, W., Jia, C. and Fang, Z. B. On a Porous Medium Equation with Weighted Inner
Source Terms and a Nonlinear Nonlocal Boundary Condition, Taiwanese Journal of Mathematics, 2024, vol. 28, no. 4, pp. 767-797. DOI: 10.11650/tjm/240304.
22. Gladkov, A. Global Existence and Blow-up of Solutions for a Parabolic Equation with Nonlinear Memory and Absorption under Nonlinear Nonlocal Boundary Condition, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2024, vol. 45, no. 4,
pp. 1703-1712. DOI: 10.1134/S1995080224601449.
23. Souplet, Ph. and Bedjaoui, N. Critical Blowup Exponents for a System of Reaction-Diffusion Equations with Absorption, Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 2002, vol. 53, pp. 197-210. DOI: 10.1007/s00033-002-8152-9.
24. Wang, M. X. and Wang, X. L. A Reaction-Diffusion System with Nonlinear Absorption Terms and Boundary Flux, Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2008, vol. 24, no. 3, pp. 409-422. DOI: 10.1007/s10255-008-8020-2.
25. Zheng, S. and Ji, R. Multiple Absorption-Related Blow-up Rates to a Coupled Heat System, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2009, vol. 355, no. 2, pp. 739-749. DOI: 10.1016/j.jmaa.2009.02.027.
26. Ladyzhenskaja, О. А., Solonnikov, V. А. and Ural'ceva, N. N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Providence, RI, Translations of Mathematical Monographs, 1968, 648 p.
27. Kahane, C. S. On the Asymptotic Behavior of Solutions of Parabolic Equations,
Czechoslovak Mathematical Journal, 1983, vol. 33, no. 108, pp. 262-285.
28. Hu, B. and Yin, H. M. Critical Exponents for a System of Heat Equations Coupled in a Non-linear Boundary Condition, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1996, vol. 19, no. 14, pp. 1099-1120. DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(19960925)19:14<1099::AID-MMA780>3.0.CO;2-J.
29. Garroni, M. G. and Menaldi, J. L. Green Functions for Second Order Parabolic
Integro-Differential Problems, Great Britain, Longman Group UK Limited, 1992, 440 p.
30. Hartman, P. Ordinary Differential Equations, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1964, 616 p.
31. Hu, B. Blow-up Theories for Semilinear Parabolic Equations,
Berlin, Springer-Verlag, 2011, 127 p. DOI: 10.1007/978-3-642-18460-4.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
