1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Classification of Dynamical Systems Near a Cosymmetric Equilibrium

Классификация динамических систем в окрестности косимметричного равновесия

10.46698/h3876-8857-0078-b

17991

12 2025

27 4 86 102

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18025&SECTION_ID=647

Куракин

Л. Г.

Kurakin

L. G.

kurakin@math.rsu.ru

Курдоглян

А. В.

Kurdoglyan

A. V.

aik_kurdoglyan@mail.ru

Институт водных проблем РАН, Россия, 119333, Москва, ул. Губкина, 3 Water Problems Institute of RAS, 3 Gubkin St., Moscow 119333, Russia

Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Southern Mathematical Institute of VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia

A local classification is developed in a neighborhood of a cosymmetric equilibrium for differential equations with invertible cosymmetry and a vector parameter, under the assumption that the kernel of the linearization matrix at the cosymmetric equilibrium is two-dimensional and that the entire stability spectrum, except for the double zero eigenvalue, is stable. Equations with such properties are of codimension one among even-dimensional systems with a cosymmetric equilibrium. In all cases, such a system admits a straightenable family of non-cosymmetric equilibria near the cosymmetric one. The classification is based on the following properties: the type of the cosymmetric equilibrium (node, focus, saddle); the relative position of the cosymmetric equilibrium and the family (including the case where the cosymmetric equilibrium belongs to the family); the number of boundary equilibria of the family separating its stable and unstable regions (\(\leqslant 3\)); the number of intersections of each separatrix of the cosymmetric saddle equilibrium with the family (\(\leqslant 3\)). Each property is determined by polynomial conditions, and the classification therefore reduces to identifying sets of conditions with a non-empty intersection. The defining polynomial conditions and corresponding phase portraits are presented for each identified class. The existence of each nonempty class is established by a scalable example for non-obvious cases, while the emptiness of the remaining classes is established separately. This work continues the studies of L. G. Kurakin and V. I. Yudovich [1, 2], where analogous results were obtained in the neighborhood of a non-cosymmetric equilibrium.

В окрестности косимметричного равновесия построена локальная классификация дифференциальных уравнений с обратимой косимметрией и векторным параметром в предположении, что ядро матрицы линеаризации на косимметричном равновесии двумерно, а весь ее спектр устойчивости, за исключением двукратного нуля, устойчив. Уравнения с такими свойствами имеют коразмерность 1 среди четномерных систем с косимметричным равновесием. Во всех рассмотренных случаях такая система обладает спрямляемым семейством некосимметричных равновесий вблизи косимметричного. Классификация проведена по следующим свойствам: тип косимметричного равновесия (узел, фокус, седло); взаимное расположение косимметричного равновесия и семейства (включая случай принадлежности косимметричного равновесия семейству); число граничных равновесий этого семейства, разделяющих его области устойчивости и неустойчивости (\(\leqslant 3\)); число пересечений каждой из сепаратрис косимметричного седлового равновесия с семейством (\(\leqslant 3\)). Каждое из этих свойств определяется полиномиальными условиями. Таким образом, классификация сведена к выделению тех наборов условий, пересечение которых не пусто. Для каждого найденного класса приведены определяющие его полиномиальные условия и соответствующий фазовый портрет. В неочевидных случаях, существование каждого непустого класса устанавливается предъявлением масштабируемого примера, а пустота остальных классов доказывается отдельными утверждениями. Данная статья продолжает работы [1, 2] Куракина Л. Г. и Юдовича В. И., где были проведены аналогичные исследования в окрестности некосимметричного равновесия.

дифференциальное уравнение равновесие косимметрия классификация

differential equation equilibrium cosymmetry classification

Kurakin, L. G. and Yudovich, V. I. Bifurcations Accompanying Monotonic Instability of an Equilibrium of a Cosymmetric Dynamical System, Chaos, 2000, vol. 10, no. 2, pp. 311-330. DOI: 10.1063/1.166497.

Kurakin, L. G. and Yudovich, V. I. Bifurcations under Monotone Loss of Stability of Equilibrium in a Cosymmetric Dynamical System, Doklady Akademii Nauk, 2000, vol. 61, no. 3, pp. 433-437 (in Russian).

Yudovich, V. I. Cosymmetry, Degeneration of Solutions of Operator Equations, and Onset of a Filtration Convection, Mathematical Notes, 1991, vol. 49, no. 5, pp. 540-545. DOI: 10.1007/BF01142654.

Lyubimov, D. V. Convective Motions in a Porous Medium Heated from Below, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1975, vol. 16, no. 2, pp. 257-261. DOI: 10.1007/BF00858924.

Kurakin, L. G. Critical Cases of Stability. Converse Implicit Function Theorem For Dynamical Systems With Cosymmetry, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1975, vol. 63, pp. 503-508. DOI: 10.1007/BF02311253.

Kurakin, L. G. and Kurdoglyan, A. V. On the Isolation/Nonisolation of a Cosymmetric Equilibrium and Bifurcations in its Neighborhood, Regular and Chaotic Dynamics, 2021, vol. 26, no. 3, pp. 258-270. DOI: 10.1134/S1560354721030047.

Vainberg, M. M. and Trenogin, V. A. Teoriya vetvleniya reshenij nelinejnyh uravnenij [Branching Theory of Solutions of Nonlinear Equations], Moscow, Nauka, 1969, 528 p. (in Russian).

Marsden, J. E. and McCracken, M. The Hopf Bifurcation and its Applications, vol. 19, New York, Springer Science & Business Media, 2012, 407 p.

Lyapunov, A. M. Obshchaya zadacha ob ustojchivosti dvizheniya [The General Problem of the Stability of Motion], Gostekhizdat, Moscow, 1950, 471 p. (in Russian).

Lyapunov, A. M. Obshchaya zadacha ob ustojchivosti dvizheniya[The General Problem of the Stability of Motion], Gostekhizdat, Moscow, 1950, 471 p. (in Russian).