1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Оценка верхней плотности показателей системы Габора Estimate of the Upper Density of Gabor System 10.46698/m9533-0085-1293-h 17976 12 2025 27 4 38 45 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17976&SECTION_ID=646 Исаев К. П. Isaev K. P. orbit81@list.ru Фазуллин З. Ю. Fazullin Z. Yu. fazullinzu@mail.ru Юлмухаметов Р. С. Yulmukhametov R. S. yulmukhametov@mail.ru Уфимский университет науки и технологий, РОССИЯ, 450076, Уфа, ул. Заки Валиди, 32 Ufa University of Science and Technology, 32 Zaki Validi St., Ufa 450074, Russia Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112 Institute of Mathematics UFRC RAS, 112 Chernyshevsky St. , Ufa 450008, Russia В работе [1] было показано, что верхняя плотность дискретного множества \(\Lambda \), для которого система Габора \(G_\Lambda \) полна в пространстве \(L^2(\Bbb R)\), не может быть меньше \(\frac 1{3\pi }\). Из более ранних работ известно также, что при регулярности распределения показателей верхняя плотность не менее \(\frac{2}{\pi} \). В данной статье мы уточняем оценку при отсутствии условия регулярности распределения: верхняя плотность дискретного множества \(\Lambda \), для которого система Габора \(G_\Lambda\) полна в пространстве \(L^2(\Bbb R)\), не может быть меньше \(\frac {\sqrt 3}{4\pi }\). Улучшение оценок достигнуто за счет более методичного применения симметризации данного множества показателей системы Габора с использованием известного эффекта уменьшения роста модуля целой функции при более симметричном расположении ее нулей. На конкретных примерах обсуждается также возможность улучшения полученной оценки в пределах предлагаемого метода. In [1] it was shown that the upper density of a discrete set \(\Lambda \) for which the Gabor system \(G_\Lambda \) is complete in the space \(L^2(\Bbb R)\) cannot be less than \(\frac 1{3\pi }\). It is also known from earlier studies that with a regular distribution of indicators, the upper density is not less than \(\frac{2}{\pi} \). In this paper, we refine the estimate in the absence of the regularity condition for the distribution: the upper density of a discrete set \(\Lambda \) for which the Gabor system \(G_\Lambda\) is complete in the space \(L^2(\Bbb R)\) cannot be less than \(\frac {\sqrt 3}{4\pi }\). Improvement of the estimates is achieved by a more methodical application of symmetrization of this set of indicators of the Gabor system using the known effect of reducing the growth of the modulus of an entire function with a more symmetrical arrangement of its zeros. The possibility of improving the obtained estimate within the proposed method is also discussed using specific examples. целые функции система Габора гильбертовы пространства полнота минимальность множества единственности completeness Gabor system frame density fock space uniqueness set 1 Belov Yu., Borichev A., Kuznetsov A. Upper and lower densities of Gabor Gaussian systems // Applied and Computational Harmonic Analysis. 2020. Vol. 49, № 2. P. 438-450. DOI: 10.1016/j.acha.2020.05.003. Belov, Yu., Borichev, A. and Kuznetsov, A. Upper and Lower Densities of Gabor Gaussian Systems, Applied and Computational Harmonic Analysis, 2020, vol. 49, no. 2, pp. 438-450. DOI: 10.1016/j.acha.2020.05.003. 2 Heil C. History and evolution of the density theorem for Gabor frames // Journal of Fourier Analysis and Applications. 2007. № 13. P. 113-166. DOI: 10.1007/s00041-006-6073-2. Heil, C. History and Evolution of the Density Theorem for Gabor Frames, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2007, vol. 13, pp. 113-166. DOI: 10.1007/s00041-006-6073-2. 3 Ascensi G., Lyubarskii Yu., Seip K. Phase space distribution of Gabor expansions // Applied and Computational Harmonic Analysis. 2009. Vol. 26, № 2. P. 277-282. DOI: 10.1016/j.acha.2008.07.005. Ascensi, G., Lyubarskii, Yu. and Seip, K. Phase Space Distribution of Gabor Expansions, Applied and Computational Harmonic Analysis, 2009, vol. 26, no. 2, pp. 277-282. DOI: 10.1016/j.acha.2008.07.005. 4 Grochenig K. Foundations of Time-Frequency Analysis. Boston: Birkhauser, 2001. 115 p. (Applied and Numerical Harmonic Analysis). Grochenig, K. Foundations of Time-Frequency Analysis, Boston, Birkhauser, 2001, 115 p. 5 Юлмухаметов Р. С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. Vol. 11, № 3. P. 257-282. DOI: 10.1007/BF01907421. Yulmukhametov, R. S. Approximation of Subharmonic Functions,Analysis Mathematica, 1985, vol. 11, no. 3, pp. 257-282 (in Russian). DOI: 10.1007/BF01907421.