1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

О свойствах акустических волн в сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости

On the Properties of Acoustic Waves in a Compressible Ideal Stratified Fluid

10.46698/i0037-3667-8880-p

16731

06 2025

27 2 136 147

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=16731&SECTION_ID=630

Цветков

Д. О.

Tsvetkov

D. О.

tsvetdo@gmail.com

Крымский федеральный университет, РОССИЯ, 295000, Симферополь, пр-т Вернадского, 4 Crimean Federal University, 4 Vernadskogo Ave., Simferopol 295000, Russia

В связи с развивающимися потребностями океанологии и прикладной геофизики возрастает интерес к задачам о распространении волн в стратифицированных жидкостях. Однако большинство исследований по динамике волн в данном классе жидкостей, как правило, опираются на модель идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости. Эффекты сжимаемости обычно исключаются из рассмотрения. Ранее автором изучалась начально-краевая задача о малых движениях сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости, целиком заполняющей неподвижный контейнер. Данная задача сводилась к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в ортогональной сумме некоторых гильбертовых пространств. С полученным уравнением ассоциировалось уравнение с замкнутым оператором. Применение метода операторных блок-матриц, а также теории абстрактных дифференциальных уравнений позволило найти достаточные условия существования решения соответствующей задачи. В представленной работе исследуется соответствующая задача о собственных колебаниях данной гидросистемы. Предполагается, что квадрат частоты колебаний данной гидросистемы превосходит квадрат частоты Вейсяля - Брента. Данный случай в классификация из монографии С. А. Габова, А. Г. Свешникова носит название "случай акустических волн". Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой спектральной теории операторных пучков (оператор-функций). Используя факторизацию операторного пучка (к которому сводится исходная задача) относительно окружности, с помощью теоремы М. В. Келдыша получено утверждение о полноте и минимальности системы корневых элементов. Далее доказано, что соответствующая система образует так называемый базис Рисса в гильбертовом пространстве. Изучаются свойства полученных акустических волн. Для мод колебаний этих волн составляющая \(x\) решения \((x,z)\) принадлежит вихревому подпространству (асимптотически стремится к нулю), а составляющая \(z\) асимптотически удовлетворяет определенному уравнению акустических волн.

The problem of small motions of a compressible ideal stratified fluid was previously studied by the author. This problem was reduced to the Cauchy problem for a differential-operator equation of the second order in the orthogonal sum of some Hilbert spaces. An equation with a closed operator was associated with the resulting equation. The application of the operator block matrix method, as well as the theory of abstract differential equations enables us to find sufficient conditions for the existence of a solution to the corresponding problem. In the present work, the corresponding problem of normal oscillations of this hydraulic system is investigated. It is assumed that the square of the oscillation frequency of this hydraulic system exceeds the square of the Weisala-Brent frequency. This case in the classification from the monograph [2] is called the "case of acoustic waves''. The problem is investigated on the base of an approach associated with the application of the so-called spectral theory of operator bundles (operator functions). Using the factorization of the operator bundle (to which the original problem is reduced) with respect to a circle of some radius, using M. V. Keldysh's theorem, a statement is obtained about the completeness and minimality of the system of root elements. It is further proved that the corresponding system forms the so-called Riesz basis in the Hilbert space. Also, the nature of the asymptotic behavior of the branches of the eigenvalues of the operator pencil under study is clarified.

эффект стратификации в идеальных жидкостях сжимаемая жидкость спектральная задача

stratification effects in ideal fluids compressible fluid spectral problem

Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator Approach to Linear Problems Of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-Adjoint Problems for an Idial Fluid. Verlag, Basel, Boston, Berlin: Birkhauser 2001. 384 p. DOI:10.1007/978-3-0348-8342-9. 2. Габов С. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. 288 с. 3. Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 335 с. 4. Shatov A. K. Types of Kelvin waves in a compressible stratified fluid // USSR Comput. Math. Math. Phys. 1987. Vol. 27, № 1. P. 201-204. DOI: 10.1016/0041-5553(87)90144-3. 5. Kholodova S. E. Wave motions in a compressible stratified rotating fluid // Comput. Math. Math. Phys. 2007. Vol. 47, № 12. P. 2014-2022. DOI: 10.1134/S0965542507120111. 6. Zakora D. A. Model of the Maxwell compressible fluid // J. Math. Sci. 2020. Vol. 250. P. 593-610. DOI: 10.1007/s10958-020-05030-6. 7. Холодова С. Е. Математическое моделеривание и анализ течений и волн во вращающейся и электропроводимых жидких средах: дис. ... д-ра. техн. наук: 25.00.15. СПб., 2018. 451 с. 8. Цветков Д. О. Об одной начально-краевой задаче, возникающей в динамике сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2024. Т. 48. C. 49-63. DOI: 10.26516/1997-7670.2024.48.49. 9. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 448 с. 10. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишенев: Штиница, 1986. 260 с. 11. Копачевский Н. Д., Азизов Т. Я., Закора Д. А., Цветков Д. О. Операторные методы в прикладной математике. Т. 2. Основные курсы. Симферополь: Ариал, 2022. 536 c.

Kopachevsky, N. D. and Krein, S. G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-Adjoint Problems for an Ideal Fluid, Basel, Boston, Berlin, Birkhauser Verlag, 2001, 384 p. DOI:10.1007/978-3-0348-8342-9. 2. Gabov, S. A. and Sveshnikov, A. G. Zadachi dinamiki stratifitsirovannykh zhidkostey [Problems in the dynamics of stratified fluids], Moscow, 1986, 288 p. (in Russian). 3. Brekhovskikh, L. М. and Goncharov, V. V. Vvedenie v mekhaniku sploshnykh sred [Introduction to the mechanics of continuous media], Moscow, 1982, 325 p. (in Russian). 4. Shatov, A. K. Types of Kelvin Waves in a Compressible Stratified Fluid, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1987, vol. 27, no. 1, pp. 201-204. DOI: 10.1016/0041-5553(87)90144-3. 5. Kholodova, S. E. Wave Motions in a Compressible Stratified Rotating Fluid, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, vol. 47, no. 12, pp. 2014-2022. DOI: 10.1134/S0965542507120111. 6. Zakora, D. A. Model of the Maxwell Compressible Fluid, Journal of Mathematical Sciences, 2020, vol. 250, pp. 593-610. DOI: 10.1007/s10958-020-05030-6. 7. Kholodova, S. E. Matematicheskoe modelerivanie i analiz techeniy i voln vo vrashchayushcheysya i elektroprovodimykh zhidkikh sredakh [Mathematical modeling and analysis of flows and waves in rotating and electrically conducting liquid media], Doctor's Thesis, Saint Petersburg, 2018, 451 p. (in Russian). 8. Tsvetkov, D. O. On an Initial-Boundary Value Problem Which Arises in the Dynamics of a Compressible Ideal Stratified Fluid, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2024, vol. 48, pp. 49-63. DOI: 10.26516/1997-7670.2024.48.49. 9. Gohberg, I. C. and Krein, M. G. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space, Translations of Mathematical Monographs, 1969, vol. 18, 448 p. 10. Markus, A. S. Introduction to the Spectral Theory of Polynomial Operator Pencils, Translations of Mathematical Monographs, 1988, vol. 71, 260 p. 11. Kopachevsky, N. D., Azizov, T. Ya., Zakora, D. A. and Tsvetkov, D. O. Operatornye metody v prikladnoy matematike. T. 2. Osnovnye kursy [Operator methods in applied mathematics. Vol. 2. Basic courses], Simferopol, Arial, 2022, 536 p. (in Russian).