1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

О структуре окрестности гомоклинической траектории к негрубой неподвижной точке

On the Structure of Neigborhood of Homoclinic Orbit to a Nonhyperbolic Fixet Point

10.46698/p1879-1111-4332-k

16694

06 2025

27 2 19 34

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=16694&SECTION_ID=630

Гордеева

О. В.

Gordeeva

O. V.

olga.gordeeva@inbox.ru

Гордеев

В. Е.

Gordeev

V. E.

vgord1103@gmail.com

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, РОССИЯ, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 National Research Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod, 23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod 603950, Russia

В работе рассматривается однопараметрическое семейство \(f_\mu\) двумерных диффеоморфизмов такое, что при \(\mu=0\) диффеоморфизм \(f_0\) имеет трансверсальную гомоклиническую траекторию к негрубой неподвижной точке произвольного конечного порядка вырождения \(n\geq 1\), а при \(\mu>0\) неподвижная точка становится грубой седловой. Цель работы - дать описание структуры множества \(N_\mu\) траекторий из достаточно малой фиксированной окрестности гомоклинической траектории. Основным результатом работы является полное описание множества \(N_\mu\) траекторий, целиком лежащих в окрестности гомоклинической структуры. Показано, что при \(\mu\geq 0\) множество \(N_\mu\) является гиперболическим (при \(\mu=0\) - неравномерно гиперболическим), и ограничение \(f_\mu\) на \(N_\mu\), т. е. дискретная динамическая система \(f_\mu\bigl|_{N_\mu}\), топологически сопряжено с некоторой нетривиальной подсистемой топологической схемы Бернулли из двух символов. Тем самым мы обобщаем классический результат Лукьянова и Шильникова, полученный ими для случая, когда неподвижная точка является невырожденным седло-узлом (\(n=1\)). Помимо этого в работе получены новые эффективные формулы для итераций одномерных отображений (отображений в ограничении на центральное многообразие диффеоморфизма \(f_\mu\)). Эти формулы выводятся с помощью некоторой модификации метода вложения отображения в поток и метод Шильникова перекрестных отображений.

We consider a one-parameter family \(f_\mu\) of two-dimensional diffeomorphisms such that for \(\mu=0\) the diffeomorphism \(f_0\) has a transversal homoclinic orbit to a nonhyperbolic fixed point of arbitrary finite order \(n\geq 1\) of degeneracy, and for \(\mu>0\) the fixed point becomes a hyperbolic saddle. The goal of the paper is to give a complete description of structure of the set \(N_\mu\) of orbits from a sufficiently small fixed neighborhood of the homoclinic orbit. The main result of the work is a complete description for the set \(N_\mu\) of orbits entirely lying in a neighborhood of the homoclinic structure. It was shown that for \(\mu\geq 0\) the set \(N_\mu\) is hyperbolic (for \(\mu=0\) it is nonuniformly hyperbolic) and the dynamical system \(f_\mu\bigl|_{N_\mu}\) (the restriction of \(f_\mu\) to \(N_\mu\)) is topologically conjugate to some nontrivial subsystem of the topological Bernoulli scheme of two symbols. Thus, we generalize the classical result of Lukyanov and Shilnikov, obtained by them for the case when the fixed point is a nondegenerate saddle-node (\(n=1\)). In addition, we obtained new effective formulas for iterations of one-dimensional maps (maps in the restriction to the central manifold of the diffeomorphism \(f_\mu\)). These formulas are derived using some modification of the well-known methods of qualitative theory, such as the methods of embedding a map to a flow and the Shilnikov cross-maps method.

одномерное отображение седло-узел негиперболическое седло гомоклиническая траектория гиперболическое множество топологическая схема Бернулли

one-dimensional map saddle-node nonhyperbolic saddle homoclinic orbit hyperbolic set Bernoulli topological scheme

Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Соврем. проблемы мат. Фундам. направления. 1986. T. 5. C. 5-218.

Arnol'd, V. I., Afraimovich, V. S., Ilyashenko, Yu. S. and Shilnikov, L. P. Bifurcation Theory, Itogi Nauki i Tekhniki. Seriya "Sovremennye Problemy Matematiki. Fundamental'nye Napravleniya", 1986, vol. 5, pp. 5-218 (in Russian). 2. Gonchenko, S. V., Turaev, D. М. and Shilnikov, L. P. Homoclinic Tangencies of Arbitrarily High Orders in the Newhouse Regions, Journal of Mathematical Sciences, 2001, vol. 105, no. 1, pp. 1738-1778. DOI: 10.1023/A:1011359428672. 3. Gonchenko, S. V. and Shilnikov, L. P. Homoclinic Tangencies, Moscow-Izhevsk, "Regular and Chaotic Dynamics", 522 p. (in Russian). 4. Afraimovich, V. S. and Shilnikov, L. P. On Some Global Bifurcations Connected with the Disappearance of a Fixed Point Of Saddle-Node Type, Doklady Akademii Nauk USSR, 1974, vol. 219, no. 6, pp. 1281-1284 (in Russian). 5. Afraimovich, V. S. and Shilnikov, L. P. The Ring Principle in Problems of Interaction Between Two Self-Oscillating Systems, Prikladnaia Matematika i Mekhanika, 1977, vol. 41, no. 4, pp. 618-627 (in Russian). 6. Afraimovich, V. S. and Shilnikov, L. P. Invariant Two-Dimensional Tori, Their Breakdown And Stochasticity, American Mathematical Society Translations, 1991, vol. 149, pp. 201-212. 7. Shilnikov, A. L., Shilnikov, L. P., Turaev, D. V. and Chua, L. O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. World Scientific, part. 1, 1998; part 2, 2001. (in Russian). 8. Lukyanov V. I. and Shilnikov L. P. On Some Bifurcations of Dynamical Systems With Homoclinic Structures, Doklady Akademii Nauk USSR, 1978, vol. 243, no. 1, pp. 26-29 (in Russian). 9. Pomeau Y. and Manneville P. Wavelength Selection in Cellula Flows, Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics, 1980, vol. 75, no. 4, pp. 296-298. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90568-x. 10. Lukyanov, V. I. On the Existence of Smooth Invariant Foliations in a Neighborhood of Some Nonhyperbolic Fixed Points of a Diffeomorphism, Interuniversity Collection, Gorky, Gorkovsky State University, 1979, pp. 60-66 (in Russian). 11. Newhouse, S., Palis, J. and Takens, F. Bifurcations and Stability of Families of Diffeomorphisms, Publications Mathematiques de l'IHES, 1983, vol. 57, pp. 5-71. 12. Shilnikov L. P. and Turaev. D. A New Simple Bifurcation of a Periodic Orbit of ``Blue Sky Catastrophe'' Type, AMS Transl. Series II. Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics, Vol. 200, 2000. 13. Belykh, V. N. On Qualitative Study of a Non-Autonomous Second Order Equation, Differentsial'nye Uravneniya, 1975, vol. 11, no. 10, pp. 1738-1753 (in Russian). 14. Gavrilov, N. K. and Shilnikov, L. P. On Three-Dimensional Dynamical Systems Close to Systems with a Structurally Unstable Homoclinic Curve. I, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1972, vol. 17, no. 4, pp. 467-485. DOI: 10.1070/SM1972v017n04ABEH001597. 15. Shilnikov, L. P. On a Poincare-Birkhoff Problem, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1967, vol. 3, no. 3, pp. 353-371. DOI: 10.1070/SM1967v003n03ABEH002748. 16. Afraimovich, V. S. and Shilnikov, L. P. On Singular Sets of Morse-Smale Systems, Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva, 1973, vol. 28, pp. 181-214 (in Russian). 17. Gonchenko, S. V. and Gordeeva, O. V. On Two-Dimensional Diffeomorphisms with Homoclinic Orbits to Nonhyperbolic Fixed Points, Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2024, vol. 20, no. 1, pp. 151-165. DOI: 10.20537/nd231204.

Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Тр. междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 31 августа - 6 сентября 1998 г.). Том 6. Динамические системы, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 1999. T. 67. C. 69-128.

Гонченко С. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2007. 525 c.

Афраймович В. С., Шильников Л. П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. C. 1281-1284.

Афраймович В. С., Шильников Л. П. Принцип кольца в задаче взаимодействия двух автоколебательных систем // Прикл. матем. и мех. 1977. T. 41, № 4. C. 618-627.

Афраймович В. С., Шильников Л. П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Межвуз. сб. "Методы КТДУ". Горький, 1983. C. 3-26.

Шильников A. Л., Шильников Л. П., Тураев Д. В., Чуа Л. O. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. 1998; Часть 2. 2001.

Лукьянов В. И., Шильников Л. П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1. С. 26-29.

Pomeau Y., Manneville P. Wavelength selection in cellula flows // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. 1980. Vol. 75, № 4. P. 296-298. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90568-x. 10. Лукьянов В. И. О существовании гладких инвариантных слоений в окрестности некоторых негрубых неподвижных точек диффеоморфизма // Межвуз. сб. Горький. 1979. № 3. C. 60-66. 11. Newhouse S., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // Publ. Math. IHES. 1983. Vol. 57. P. 5-71. 12. Shilnikov L. P., Turaev D. A new simple bifurcation of a periodic orbit of "blue sky catastrophe" type // AMS Transl. Series II. Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics. Vol. 200. 2000. 13. Белых В. Н. О качественном исследовании неавтономного уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1975. T. 11, № 10. C. 1738-1753. 14. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой, I // Мат. сб. 1972. Т. 88, № 4. C. 475-492. 15. Шильников Л. П. Об одной задаче Пуанкаре Биркгофа // Мат. сб. 1967. Т. 116, № 3. С. 378-397. 16. Афраймович В. С., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла // Тр. Моск. мат. общества. 1973. Т. 28. С. 181-214. 17. Gonchenko S. V., Gordeeva O. V. On Two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic orbits to nonhyperbolic fixed points // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2024. Vol. 20, № 1. P. 151-165. DOI: 10.20537/nd231204.