Разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе

Койбаев В. А. , Итарова С. Ю.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 3.С.24-30..

Аннотация:
Работа связана с изучением элементарных сетей (ковров) \(\sigma =(\sigma_{ij})\) и элементарных сетевых групп \(E(\sigma)\). А именно, приводится разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе \(E(\sigma)\). Наборы подмножеств (идеалов, аддитивных подгрупп и др.) \(\sigma=\{\sigma_{ij}: 1\leq i, j\leq n\}\) определенного ассоциативного кольца с условиями \(\sigma_{ir}\sigma_{rj}\subseteq\sigma_{ij},\) \(1\leq i,r,j\leq n,\) возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы - ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. Назовем элементарную сеть (сеть без диагонали) \(\sigma\) замкнутой (допустимой), если подгруппа \(E(\sigma)\) не содержит новых элементарных трансвекций. Настоящая статья мотивирована вопросом В. М. Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос 15.46) о том, что необходимым и достаточным условием допустимости (замкнутости) элементарной сети \(\sigma\) является допустимость (замкнутость) всех пар \((\sigma_{ij}\), \(\sigma_{ji})\). Другими словами, включение элементарной трансвекции \(t_{ij}(\alpha)\) в элементарную группу \(E(\sigma)\) эквивалентно включению \(t_{ij}(\alpha)\) в подгруппу \(\langle t_{ij}(\sigma_{ij}), t_{ji}(\sigma_{ji}) \rangle\) (для любых \(i\neq j\)). Тем самым становится актуальным разложение элементарной трансвекции \(t_{ij}(\alpha)\) в элементарной сетевой группе \(E(\sigma)\). Рассматривается элементарная сеть порядка \(n\) (элементарный ковер) \(\sigma = (\sigma_{ij})\) аддитивных подгрупп коммутативного кольца (сеть без диагонали), связанная с \(\sigma\) производная сеть \(\omega=(\omega_{ij})\), сеть \(\Omega=(\Omega_{ij})\), ассоциированная с элементарной группой \(E(\sigma)\), причем \(\omega\subseteq\sigma\subseteq\Omega\) и сеть \(\Omega\) является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сеть \(\sigma\). Пусть \(R\) - произвольное коммутативное кольцо с единицей, \(n\) --- натуральное число, \(n\geq 2\). Система \(\sigma=(\sigma_{ij})\), \(1\leq{i, j} \leq{n},\) аддитивных подгрупп \(\sigma_{ij}\) кольца \(R\) называется сетью (ковром) над кольцом \(R\) порядка \(n\), если \( \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}\) при всех значениях индексов \(i\), \(r\), \(j.\) Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью} (элементарный ковер}). Получено разложение элементарной трансвекции \(t_{ij}(\alpha)\) из \(E(\sigma)\) в произведение \(t_{ij}(\alpha)=ah\) двух матриц \(a\) и \(h\), где \(a\) - элемент группы \(\langle t_{ij}(\sigma_{ij}), t_{ji}(\sigma_{ji}) \rangle\), \(h\) - элемент сетевой группы \(G(\tau)\), где \(\tau =\begin{pmatrix} \tau_{ii} & \omega_{ij} \\ \omega_{ji} & \tau_{jj} \end{pmatrix},\) \(\omega_{ii}\subseteq \tau_{ii} \subseteq \Omega_{ii}\). В работе получены важные характеристики матриц \(a\) и \(h\), участвующих в разложении элементарной трансвекции \(t_{ij}(\alpha)\).

Ключевые слова: сеть, ковер, элементарная сеть, сетевая группа, замкнутая сеть, производная сеть, элементарная сетевая группа, трансвекция.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы