Отсутствие глобальных решений уравнения четвертого порядка типа Гаусса

		ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807

			Войти

Главная Редколлегия Публикационная этика Рецензирование Свежий номер Архив Правила для авторов Работа с электронной редакцией Подать статью Контакты Адрес: Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Тел.: (8672)23-00-54 E-mail: rio@smath.ru	Уважаемые авторы, просим обратить внимание! Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции. DOI: 10.46698/u2023-1977-8822-o Отсутствие глобальных решений уравнения четвертого порядка типа Гаусса Неклюдов А. B. Владикавказский математический журнал. 2024. Том 26. Выпуск 1.С.123-131. Аннотация: Рассматриваются решения двумерного уравнения четвертого порядка с бигармоническим оператором и экспоненциальной относительно решения нелинейностью, являющегося аналогом классического уравнения второго порядка Гаусса - Бибербаха - Радемахера, которое ранее рассматривалось многими авторами в связи с задачами геометрии поверхностей с отрицательной гауссовой кривизной, динамики разреженного газа, теории автоморфных функций. Получены условия, при которых решение не может существовать в круге достаточно большого радиуса. Показано, что глобальные решения на плоскости могут существовать, только если коэффициент при нелинейности вырождается в бесконечности со скоростью не меньше, чем \(\exp\{-\|x\|^2\ln\|x\|\}\). Показано, что в противном случае среднее значение решения на окружности радиуса \(r\) должно было бы расти к \(+\infty\) с экспоненциальной скоростью при \(r\to\infty\). Методом нелинейной емкости Похожаева - Митидиери, основанного на выборе подходящих срезающих пробных функций, доказывается невозможность существования такого растущего глобального решения. Также для решений в \({\mathbb R}^n\), периодических по всем переменным, кроме одной переменной \(x_1\), аналогичными методами получено отсутствие глобальных решений при вырождении коэффициента при нелинейности со скоростью, медленней, чем \(\exp\{-x_1^3\}\). Ключевые слова: бигармонический оператор, уравнение типа Гаусса, глобальные решения, экспоненциальная нелинейность, разрушение решений Язык статьи: Русский Загрузить полный текст Образец цитирования: Неклюдов А. В. Отсутствие глобальных решений уравнения четвертого порядка типа Гаусса // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 1. C. 123-131. DOI 10.46698/u2023-1977-8822-o + Список литературы 1. Векуа И. Н. О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 64. С. 5-8. 2. Олейник О. А. Об уравнении \(\Delta u+k(x)e^u=0\) // Успехи матем. наук. 1978. Т. 33, № 2. C. 203-204. 3. Usami H. Note on the inequality \(\Delta u\ge k(x)e^u\) in \(\mathbb R^n\) // Hiroshima Math. J. 1988. Vol. 18, № 3. P. 661-668. DOI: 10.32917/hmj/1206129623. 4. Flavin J. N., Knops R. J., Payne L. E. Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations on the half-cylinder // Z. Angew. Math. Phys. 1992. Vol. 43, № 3. P. 405-421. DOI: 10.1007/BF00946237. 5. Kuo-Shung Cheng, Chang-Shou Lin. On the conformal Gaussian curvature equation in \(\mathbb R^2\) // J. Diff. Equ. 1998. Vol. 146, № 1. P. 226-250. DOI: 10.1006/jdeq.1998.3424. 6. Гладков А. Л., Слепченков Н. Л. О целых решениях полулинейного эллиптического уравнения на плоскости // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 6. C. 790-800. 7. Неклюдов А. В. Об отсутствии глобальных решений уравнения Гаусса и решений во внешних областях // Изв. вузов. Матем. 2014. № 1. C. 55-60. 8. Berchio E., Farina A., Ferrero A., Gazzola F. Existence and stability of entire solutions to a semi-linear fourth order elliptic problem // J. Diff. Equ. 2012. Vol. 252, № 3. P. 2596-2616. DOI: 10.1016/j.jde.2011.09.028. 9. Lin C.-S. A classification of solutions of a conformally invariant fourth order equation in \(\mathbb R^n\) // Comment. Math. Helv. 1998. Vol. 73, № 2. P. 206-231. DOI: 10.1007/s000140050052. 10. Wei J., Ye D. Nonradial solutions for a conformally invariant fourth order equation in \(\mathbb R^4\) // Calc. Var. 2008. Vol. 32. P. 373-386. DOI: 10.1007/s00526-007-0145-2. 11. Warnault G. Liouville theorems for stable radial solutions for the biharmonic operator // Asymptot. Anal. 2010. Vol. 69, № 1-2. P. 87-98. DOI: 10.3233/ASY-2010-0997. 12. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Тр. Матем. института имени В. А. Стеклова. 2001. Т. 234. С. 3-383. 13. Каметака И., Олейник О. А. Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1978. Т. 107, № 4. С. 572-600. ← Содержание выпуска


	\| Главная \| Редколлегия \| Публикационная этика \| Рецензирование \| Свежий номер \| Архив \| Правила для авторов \| Работа с электронной редакцией \| Подать статью \|
	© 1999-2024 Южный математический институт