Аннотация: В работе рассматривается однопараметрическое семейство линейных непрерывных операторов в \(L_2(\mathbb R^d)\) и ставится задача об оптимальном восстановлении оператора при данном значении параметра на классе функций, преобразования Фурье которых интегрируемы в квадрате со степенным весом (пространства такой структуры играют важную роль в вопросах вложения функциональных пространств и теории дифференциальных уравнений) по следующей информации: о каждой функции из этого класса известно (вообще говоря, приближенно) ее преобразование Фурье на некотором измеримом подмножестве \(\mathbb R^d\). Построено семейство оптимальных методов восстановления операторов при каждом значении параметра. Оптимальные методы не используют всю доступную информацию о преобразовании Фурье функций из класса, а используют только информацию о преобразовании Фурье функции в шаре с центром в нуле максимального радиуса, обладающего тем свойством, что его мера равна мере его пересечения с множеством, где известно (точно или приближенно) преобразование Фурье. В качестве следствий доказанного результата получено семейство оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в \(\mathbb R^d\) в данный момент времени при условии, что о начальной функции, принадлежащей указанному классу, известно точно или приближенно ее преобразование Фурье на некотором измеримом множестве, а также семейство оптимальных методов восстановления решения задачи Дирихле для полупространства на гиперплоскости по преобразованию Фурье граничной функции, принадлежащей указанному классу, которое известно точно или приближенно на некотором измеримом множестве в \(\mathbb R^d\).
Образец цитирования: Абрамова Е. В., Сивкова Е. О. О наилучшем восстановлении семейства операторов на классе функций по неточно заданному их спектру // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 1. C.13-26. DOI 10.46698/z4058-1920-7739-f
1. Стейн И. М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
2. Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in
Approximation Theory / Eds. C. A. Micchelli and T. J. Rivlin. N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 1-54.
DOI: 10.1007/978-1-4684-2388-4_1.
3. Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces
from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. Vol. 16, № 1. P. 87-105.
4. Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes Math.
Berlin: Springer-Verlag, 1985. Vol. 1129. P. 21-93. DOI: 10.1007/bfb0075157.
5. Traub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms. N.Y.: Acad. Press, 1980.
6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных
по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функцион. анализ
и его прил. 2003. Т. 37, № 3. С. 51-64. DOI: 10.4213/faa157.
7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному
спектру // Функцион. анализ и его прил. 2010. Т. 44, № 3. C. 76-79. DOI: 10.4213/faa2999.
8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О восстановлении операторов сверточного типа
по неточной информации // Труды МИАН. 2010. Т. 269. С. 181-192.
9. Magaril-Il'yaev G. G., Sivkova E. O. Optimal recovery of the semi-group operators from
inaccurate data // Eurasian Math. J. 2019. Vol. 10, № 4. P. 75-84. DOI: 10.32523/2077-9879-2019-10-4-75-84.
10. Сивкова Е. О. Оптимальное восстановление семейства операторов по неточным измерениям на компакте // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 2. С. 124-135. DOI: 10.46698/b9762-8415-3252-n.
11. Magaril-Il'yaev G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. On optimal recovery of heat equation solutions //
Approximation Theory: A Volume Dedicated to B. Bojanov / Eds. D. K. Dimitrov, G. Nikolov and R. Uluchev. Sofia: Marin Drinov Acad. Publ. House, 2004. P. 163-175.
12. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным
данным // Владикавк. мат. журн. 2004. Т. 6, № 4. С. 55-62.
13. Балова Е. А. Об оптимальном восстановлении решений задачи Дирихле по неточным исходным
данным // Матем. заметки. 2007. Т. 82, № 3. С. 323-334. DOI: 10.4213/mzm3846.
14. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения
теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 5. С. 37-54.
DOI: 10.4213/sm7301.
15. Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле по неточно заданному
спектру граничной функции // Владикавк. мат. журн. 2017. Т. 19, № 4. С. 3-12. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9163.
16. Балова Е. А., Осипенко К. Ю. Оптимальные методы восстановления решений задачи Дирихле,
точные на подпространствах сферических гармоник // Матем. заметки. 2018. Т. 104, № 6.
С. 803-811. DOI: 10.4213/mzm11784.
17. Абрамова Е. В., Магарил-Ильяев Г. Г., Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление решения задачи
Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.
2020. Т. 60, № 10. С. 1711-1720. DOI: 10.31857/S0044466920100038.
